Browsing: Алгебра 10-11 класс

Как посчитать площадь крыши дома

Вы решили приобрести материал под будущую крышу в вашем доме, и вас интересует какая сума вам для этого понадобиться? ваши траты в этом деле целиком и полностью зависят от правильности определения площади кровли, но как посчитать площадь крыши для дома? Именно об этом и пойдет речь ниже.

Допустим, вы строите двускатную крышу, это нам на руку! Можно просто посчитать значение площади одного из скатов, и умножить это значение на два.

Плоскость идеального ската является наклоненным прямоугольником, расположенным перпендикулярно к короткой стене постройки. Для определения площади прямоугольника (ската) нужно всего лишь использовать простейшую геометрическую формулу: длину умножить на ширину.

В случае с обустройством кровли – значение длины принимается равным длине стенки, к которой следует прибавить расстояние, на которое крыша будет выступать за стены, умноженное на два.

А ширину ската следует принимать равной сумме длины, которую имеет стропило и длины одного выступа крыши над поверхностью стены.

Решение задач по аналитической химии для чайников.

Если в прямоугольном треугольнике угол равен 30.

Как примером, воспользуемся расчетом площади кровли двускатного типа, в доме, размеры которого 8 на 6 м (рисунок выше).

Значение длины стропила равняется L=490см, а длину выступов кровли возьмем за 50см.

S ската = (L длины стропила) + (D длина дома)

S ската = 4.9*8=39.2 м²

Решить систему трёх линейных уравнений методом крамера.

S кровли = 2 * 39.2 = 79.4 м².

Ну, вот и все, расчет оказался предельно простым, но от этого не менее точным. Желаем удачи в ваших начинаниях!

Если у Вас угол между стропилами не 90 градусов или сложная форма крыши, то следует воспользоваться основными формулами геометрии:

Площадь закрашенного круга равна 4 найдите площадь закрашенной фигуры.

Строительство любого рода невозможно без предварительных расчетов, поэтому этим подготовительным этапом пренебрегать ни в коем случае нельзя. Рассчитать нужно параметры самой крыши, угол ее наклона и прочие моменты, а также количество кровельного материала, которого потребуется для поверхности всей крыши. О том, как это сделать, мы расскажем в этой статье.

Расчет площади крыши зависит от типа самой кровли. Если кровля простая, т. е. односкатная, то особых проблем в расчетах быть не должно. Но бывают и другие случаи, когда есть определенные трудности в этом деле.

В этой статье вы узнаете, как рассчитать площадь кровли и как узнать квадратуру дома для разных типов крыш.

Любое строительство представляет собой довольно затратное мероприятие, поэтому хозяин рад любой возможности хоть как-нибудь сэкономить.

Определение площади крыши включает в себя достаточно много вычислений, среди которых нахождение высоты, угла наклона кровли, а также объема тех строительных материалов, которые необходимы для постройки кровли. Если все сделать грамотно, то вам не придется переплачивать за стройматериалы покупая больше, чем нужно, а также вы сэкономите на транспортировке материала до места строительства.

Сложность расчета будет напрямую зависеть от типа используемой кровли, коих существует достаточное количество.

Тема урока решение систем тригонометрических уравнений.

Как посчитать квадратуру крыши дома и не ошибиться в расчетах? В этом вам поможет наш строительный калькулятор, который считает не только квадратуру дома, но и производит расчет угла наклона, количества кровли, стропил и многое другое.

Данный калькулятор производит расчет покрытия для двускатной кровли. Прежде чем приступить к расчетам, в верхнем правом углу калькулятора нужно выбрать кровельное покрытие.

Ниже представлены калькуляторы для других видов крыш:

Обозначение полей в калькуляторе

Метод гаусса решения систем линейных уравнений c.

Снеговая нагрузка по регионам

Вписанная в треугольник авс окружность касается сторон ав 4 и ас 3.

Постройка кровли представляет достаточно сложный процесс, в котором нужно учитывать не только кровельный материал, но гидро — и теплоизоляцию. Также нужно определиться с типом кровли. Итак, строители различают несколько разновидностей кровли:

Если кровля достаточно простой формы, без лишних изломов, то рассчитать ее площадь не составит большого труда. Если же крыша более сложной конфигурации, с множеством скатов, то тут придется вооружиться всеми своими знаниями в геометрии. Это объясняется тем, что нам придется высчитывать параметры геометрических фигур, входящих в условный рисунок кровли, а сложность будет состоять в типе этих самых фигур.

В большинстве случаев, крыши частных построек бывают следующих геометрических форм. Площадь скатных крыш считается с помощью этих формул:

  1. Трапеция. Формула расчета (A+B)*H/2.
  2. Прямоугольник — A*B.
  3. Параллелограмм — A*H.
  4. Треугольник с равными сторонами — (A*H)/2.

Дана арифметическая прогрессия an в которой a10 10 a16 19.

Расчет площади односкатной кровли представляется самым простым, ведь для этого не требуется подробный план кровли.

Рассчитывается она по очень простой формуле:

S — это площадь самой крыши (в данном случае, прямоугольника).

A — это ширина кровли.

B — это длина.

Допустим, длина односкатной крыши составляет 7 метров, а ширина равна 4. Рассчитываем:

S = 4 * 7 = 28 метров.

Y 2 1-4x-x 2 найдите наибольшее значение функции.

Такой тип кровли представляет собой две односкатные крыши с разных сторон, поэтому и вычисление будет происходить по схожему алгоритму. Остается только сложить получившиеся значения вместе.

Возьмем для расчета те же параметры, что и в предыдущем примере, т. е. ширина будет ровняться 4 метрам, а длина равна 7. Производим расчет:

S = (4*7) + (4*7) = 28 + 28 = 56 метров.

Прямая ад перпендикулярна медиане вм треугольника авс делит угол вас пополам.

Если взглянуть на такую крышу сверху, то можно увидеть, что она состоит из четырех геометрических фигур, площади которых нам и нужно вычислить. Иными словами, нам нужно рассчитать эти значения для двух трапеций и двух равносторонних треугольников. Все получившиеся показатели нужно будет сложить.

В качестве длины и ширины возьмем те же значения, т. е. 7 (значение A) и 4 (значение B) метра, а высота будет ровняться условным 3 (значение H) метрам.

Рассчитываем по следующей формуле:

S = A*H/2 = 7*3/2 = 21/2 = 10,5 метров. Значение второго треугольника будет такой же, поэтому складываем эти значения: 10,5 + 10,5 = 21 метр.

Рассчитываем площадь трапеции:

S = (A+B)*H/2 = (7+4)*3/2 = 11*1,5 = 16,5 метра. Прибавляем значение второй трапеции: 16,5 + 16,5 = 33 метра.

Складываем получившиеся значения: 21 + 33 = 54 метра. Это и будет конечная площадь четырехскатной поверхности.

У треугольника равны две стороны и каждая из них составляет.

В принципе, расчет площади кровли сложной конфигурации мало чем отличается от предыдущих способов. Конечно, придется затратить чуть больше времени, но правила расчета для всех общие:

  • Разбиваем пространство на отдельные геометрические элементы. В результате мы получаем различные прямоугольники, треугольники, трапеции и прочие фигуры.
  • Далее нужно воспользоваться математическими формулами, знакомыми еще со школьной программы, рассчитывая таким образом площадь для каждой фигуры.
  • Помните, что длина ската берется от крайней линии карниза и заканчивая коньком крыши.
  • Рассчитываем показатели для всех получившихся фигур, после чего складываем вместе все эти значения.
  • Если вы видите, что скат кровли неправильной формы, то лучше разбить его на две простейшие фигуры, ведь куда проще рассчитывать площадь двух трапеций, чем площадь многоугольника. Так вы сэкономите себе время и нервы.

Расчет крыш сложных форм

Из формулы радиуса окружности вписанный в прямоугольный треугольник.

Мы уже говорили о том, что вычисление площади кровли необходимо для того, чтобы рассчитать приблизительное количество кровельного материала.

Но даже в том случае, если мы провели все расчеты правильно, то материала все равно нужно приобретать с небольшим запасом, чтобы не столкнуться с его нехваткой в процессе монтажа. Тип кровельного материала также играет важную роль, ведь технология его настила может быть разной.

Шифер, металлическая черепица и профнастил. Каждый из этих материалов реализуется в форме листов, а укладывать их нужно внахлест. Есть такое понятие, как «полезная площадь» материала, поэтому нужно брать в расчет именно ее, а не фактические показатели. Если компания-производитель высокого уровня, то она обязательно отображает подобную информацию на упаковках.

Вот несколько рекомендаций, позволяющих приобрести необходимое количество материала:

  • Длина постройки делится на ширину листа материала. К получившемуся значению необходимо прибавить еще 10%, которые пойдут на обрезку. Так мы узнаем точное число листов на всю ширину кровли.
  • Значение длины ската делим на длину листа материала. Затем нужно прибавить 13%, что пойдет на нахлест при установке листов.
  • Затем перемножаем число листов в ширину кровли и общее число рядов до карниза. Искомая цифра и будет являться общим количество листов шифера или металлочерепицы для конкретной кровли.

Расчет сложной крыши

В принципе, расчет всех параметров оказывается не таким уж сложным процессом, если следовать вышеизложенным рекомендациям.

Наш строительный калькулятор может произвести все расчеты за вас. Вам же остается только ввести данные длины, ширины, высоты и прочих показателей постройки, а также используемого кровельного материала.

Решение задачи света и маша хотят купить куклу у светы есть только.

Правильный расчет параметров крыши необходим для приобретения нужного количества кровельного материала. Если у вас нет подробного плана дома, то все замеры придется проводить самостоятельно, используя рулетку, лестницу и прочие сопутствующие инструменты. Также не забывайте о том, что тип материала для кровли также иметь немаловажную роль, поэтому каждый расчет стоит проводить индивидуально.

Если вы не уверены в своих силах, то можно доверить это дело профессионалам, которые сделают всю работу за вас. Это практически беспроигрышный вариант, вот только если цена вопроса вас не сильно беспокоит.

Как посчитать площадь крыши дома

В любом другом же случае можно немного поразмыслить и произвести индивидуальные рассчеты. Как видите, сделать это не так уж и сложно, зато вы сможете сэкономить деньги, которые после будут потрачены на те же материалы и не только.

Логические задачи по математике 4 класс с решением и ответами.

При строительстве перед людьми возникает масса самых разных проблем. Одна из них – обустройство кровли и подсчет необходимого для ее постройки количества материала. Узнать его можно только при условии верного подсчета площади, которую требуется перекрыть.

Постройте в одной системе координат графики функций y 1.

Рассчитать площадь крыши по неким универсальным формулам не получится. Для простой односкатной кровли подобные подсчеты наиболее просты, но всегда есть нюансы, игнорирование которых приводит к печальным последствиям.

Подсчет площади подразумевает всегда:

  • точное измерение высоты;
  • выяснение степени наклона;
  • определение объема нужных стройматериалов и крепежа к ним (как завершающий этап).

Геометрическая прогрессия задана формулой bn 2 5.

Площадь скатной крыши подсчитывается в зависимости от того, какой геометрической фигуре соответствует предполагаемая кровля – чаще всего это равнобедренные треугольники, трапеции, прямоугольники и параллелограммы. Но важно учитывать, что практически все крыши все равно состоят из нескольких скатов.

Односкатный вариант просчитывается по формуле для прямоугольника.

Если скатов два, требуется лишь применить ту же формулу к каждому из них и суммировать полученные результаты.

Крыша из четырех скатов рассчитывается как сумма пары трапеций и пары же треугольников с равными сторонами.

Если форма очень сложная, надо будет израсходовать больше времени, но основные принципы остаются примерно теми же самыми. Первым шагом оказывается разбивка на простейшие геометрические фигуры. Потом применяются те же формулы для расчета площади любой из них, что и в стандартном случае. Нельзя забывать, что длина скатов отсчитывается от завершающих линий карнизов до коньковых элементов.

Когда участок неправильной формы, целесообразно делить его на еще более мелкие фрагменты, чтобы кардинально упростить выполнение расчетов.

Не следует вычитать из полученных результатов дымоходы и вентиляционные каналы, встроенные в крышу окна и другие подобные элементы. При расчете площади плоской кровли под укладку наплавляемых рулонных материалов площадь парапетов учитывается отдельно. Необходимо принять во внимание, как будет расположен свес – по периметру, с закрытым парапетом или с нижним свесом и трехсторонним парапетом.

В самом простом виде площадь плоской крыши можно принять равной общей площади здания, с добавлением разве что свесов и других выходящих за контур элементов. Но такая схема расчета приемлема только в том случае, если нет на самом деле никаких углов.

При должном старании несложно будет подсчитать самостоятельно и площадь фронтона. Для этого не будет необходимости даже обращаться к помощи онлайн-калькуляторов. Конфигурация фронтонов тесно взаимосвязана с геометрией скатов: так, треугольные варианты чаще всего сопровождают формирование кровель с двумя скатами. При установке конструкции до подготовки стропильных каркасов рассчитывать площадь и высоту фронтонов нужно с особой тщательностью.

Произвести необходимые расчеты, как всегда, помогает использование «школьных» формул. Электронные калькуляторы целесообразно использовать только для самопроверки.

Длины стен торцов, делимые пополам, перемножают с тангенсом угла, который создает скат и основание крыши. Для нежилого помещения под кровлей высота будет намного меньшей, чем для активно используемого людьми. Стенка треугольной формы подсчитывается путем перемножения высоты самого фронтона и длины кровельного основания. Этот результат нужно уменьшить на 50%. В случае со стеной «трапецией» берут ½ от суммарной длины оснований, умножают ее на высоту. Пятиугольный фронтон условно разделяют на верхний треугольник и нижнюю трапецию – это упрощает подсчет.

Подсчитать площадь Г-образной крыши с различным уклоном тоже не составляет особенного труда. По своей природе она образована из пары типовых двускатных конструкций, стыкуемых под прямым углом. Общая конфигурация для упрощения расчетов разбивается на четыре подобных прямоугольные трапеции. Вычисленные площади суммируют и получают окончательный результат.

Упростить работу (отказаться от замеров отдельных скатов и плоскостей) можно, если иметь на руках тщательно подготовленный план.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольном треугольнике.

Посчитать квадратуру кровли дома правильно не получится, если не разобраться, какова точно ее форма. При отсутствии четких и однозначных планов придется подготовить их самостоятельно, нарисовав все необходимые чертежи от руки. Равнобокая трапеция рассчитывается с учетом не только ширины скатов, но и длин оснований и высоты. Подготавливаемый план кровли должен отражать все длины, ширины и высоты с погрешностью не более 1 см. Если можно произвести измерение точнее, обязательно стоит воспользоваться таким шансом.

Желательно подготавливать план в нескольких проекциях сразу, а каждое измерение и каждый шаг расчета перепроверять. Ошибка может оказаться очень дорогой, притом в буквальном смысле слова. Определять число квадратных метров можно и с земли, и с самой крыши, и с чердака.

Чтобы повысить точность измерений и расчетов, рекомендуется обращать внимание даже на асимметричность края, на избыточную ширину конька, на изменения углов наклона в разных местах. Кровля, наклоненная под углом 9 градусов, на 10% больше по размеру, чем идентичная плоская.

Если наклон увеличивается до 56 градусов, коэффициент пересчета достигает уже 1,8, а приблизительное изменение его при росте угла на 10 градусов составляет 15%. Углы наклона скатов в домах, покрытых симметричными двускатными крышами, определяются в зависимости от протяженности основания равнобедренного треугольника, формируемого скатами. Чтобы просчитать нахлест, требуется умножать длину дома на длину стропил.

Площадь всех скатов по отдельности определяется как длина дома с прибавлением фронтального и карнизного свесов, умноженная на длину стропил + длину свеса. Если крыша односкатная, удваивать полученное число не нужно.

Для максимально точного просчета метража треугольника или любой другой геометрической фигуры полученные по формулам результаты нужно увеличивать на 10-15%. Это позволит компенсировать возможные ошибки и брак при укладке кровельного материала. Несколько сложнее будет высчитать площадь кровли для последующей огнезащитной обработки и для пропитки антисептическими составами. Методы примерно те же самые, но потребуется еще учесть рекомендованные пожарным надзором коэффициенты. Они позволят компенсировать и расчетные ошибки, и перерасход пропитывающих смесей.

Проблема в том, что специальная пропитка наносится не на кровлю, а на обрешетку и верхние части перекрытий, стропила, фермы и ригели. Но стропила, балки и другие подобные элементы имеют намного меньшую площадь, нежели сама крыша. И потому в большинстве случаев для точного прогнозирования потребности в обработке антипиренами придется ввести коэффициент 1,2. Он же успешно «поглотит» и все неровности.

Олимпиадные задачи по математике 9 кл с решением.

Угол наклона кровли вычисляется между наклоненными стропилами и перекрытием. При подсчете площади поверхности, которую должны будут занять листы металлочерепицы, шифера либо профнастила, нельзя забывать, что одна из волн тратится на соединения с соседними листами. Поэтому придется добавить еще 10% к полученной площади уже после всех расчетов и корректировок. Также учитывают, что листовые материалы измеряются в погонных метрах, которые потребуется сначала пересчитать в квадратные, и лишь затем сравнивать с размерами крыши. Дополнительно проверить себя можно, воспользовавшись специализированными онлайн-калькуляторами непосредственно от крупных поставщиков избранного покрытия.

Если кровля не имеет настенного желоба, добавляют 7 см на спуски над карнизами. А в том случае, когда есть и желоб, и карниз, и свес, длину можно сократить на 70 см. Обсчитывать площади парапетов, брандмауэрной стены и прочих конструкций, не связываемых физически с главным покрытием, нужно дополнительно. Принимать во внимание стоячие фальцы, если единичные детали покрываются кровельной сталью, нет необходимости.

Также можно проигнорировать обход бруса основания рулонными покрытиями. По существу, он не играет роли, как и обустройство фартуков.

И еще про игнорируемые детали: нет необходимости просчитывать присоединения кровли к:

  • парапету;
  • зенитному фонарю;
  • тепловому шву;
  • трубе;
  • шахте вентиляции;
  • стене.

Покрытия частей одной крыши, расположенных в различных плоскостях и отсоединенных другими материалами, рассчитываются каждое по отдельности. Если проекта здания нет или он вызывает определенные сомнения, лучше все величины измерять по факту. Затраченные усилия обернутся сторицей, ремонтировать или строить с нуля окажется намного проще. Тем более что неучтенные на планах и схемах большого масштаба сантиметры в реальности оборачиваются целыми метрами погрешности.

Максимально точный результат получается у профессиональных строителей и проектировщиков – к ним и следует обращаться, чтобы получить качественную услугу.

Когда дело доходит до формирования сметы, нельзя забывать об использовании крепежа и доборных элементов. Их распределение по площади крыши должно быть равномерным, за исключением тех случаев, когда иной порядок продиктован технологией. Целесообразно учесть, что в отдельных вариантах покрытий количество отходов может достигать 50%. Удивляться и возмущаться здесь бессмысленно, такова технология. Именно поэтому расчет площади кровли – это еще не все, хотя и очень важно для дела.

В грамотно составленных сметах не должно быть такого, чтобы простой расчет по площади принимался за основу оценки стоимости. И даже если проведена незначительная корректировка по непонятным коэффициентам, которую никак не обосновывают, доверять такой смете нельзя.

Лучше обратиться за помощью в другую организацию. Все цифры и расчеты, которые представлены проектировщиками, стоит лично перепроверить. Используя онлайн-калькулятор, помощь архитекторов заменить нельзя, но получится по крайней мере высчитать все так, чтобы кровля была надежной при обычных условиях эксплуатации.

О том, как правильно рассчитать площадь крыши, смотрите далее.

{ Comments are closed }

Найдите площадь выпуклого четырехугольника с диагоналями 3 и 4

Как найти площадь прямоугольного треугольника если известна площадь и угол.

найдите площадь выпуклого четырехугольника с диагоналями 3 и 4 если отрезки соединяющиу середины его противоположных стронон равны

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

Kulakkkk 24.04.2013

Найдите наибольшее значение функции на отрезке егэ математика решение.

  • Nina200
  • светило науки

так как отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны, то этот четырёхугольник ромб, его площадь равна половине произведения диагоналей, S=1/2*3*4=6

Периметр квадрата 28 см найди длину одной его стороны.

Найдите площадь выпуклого четырехугольника с диагоналями 3 и 4

29 января Новый сервис учителю: работа над ошибками кратко / полно

25 января Открыли новый раздел Итоговое собеседование
авторские материалы Т. Н. Стаценко (Кубань)

25 января Проверьте! Кнопка «Русский язык» в верхнем меню работает в двух режимах.

Наша группа Вконтакте
Мобильные приложения:

Найдите пло­щадь вы­пук­ло­го четырёхугольника с диа­го­на­ля­ми 3 и 4, если отрезки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ны его про­ти­во­по­лож­ных сторон, равны.

Пусть — дан­ный четырёхугольник, — се­ре­ди­на сто­ро­ны — се­ре­ди­на сто­ро­ны — се­ре­ди­на сто­ро­ны — се­ре­ди­на сто­ро­ны . Проведём диа­го­на­ли и и от­рез­ки и , по­сле­до­ва­тель­но со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ны сто­рон четырёхугольника. Тогда, по свой­ству сред­ней линии треугольника, от­рез­ки и па­рал­лель­ны диа­го­на­ли и равны её половине, а от­рез­ки и па­рал­лель­ны диа­го­на­ли и равны её половине. По­это­му параллелограмм. А так как, по усло­вию задачи, его диа­го­на­ли и равны, то — прямоугольник, и угол — прямой. От­сю­да следует, что и угол между диа­го­на­ля­ми и тоже прямой, и, следовательно, пло­щадь четырёхугольника будет равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диагоналей, то есть .

Как найти гипотенузу треугольника если известен синус и катет.

так как отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны, то этот четырёхугольник ромб, его площадь равна половине произведения диагоналей, S=1/2*3*4=6

Решение задач по физике на силу архимеда 7 класс.

Найдите площадь выпуклого четырехугольника с диагоналями 3 и 4

ширина -2 м 70 см
ответ у мя такои: 93420 см а в метре

Найдите площадь выпуклого четырехугольника с диагоналями 3 и 4

Треугольник ABC и MNK равны. Известно, что
AB=MN, BC=NK, угол C=75 градусов, MK=4.найдите АС и угол К

{ Comments are closed }

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 30 градусов на боковую сторону опущена высота. найти угол между этой высотой и основанием решение задачи

АВС — равнб. треуг., с основанием АС

т. к. треугольник АВС-равнобедренный (по условию), то по св-ву равноб. треугол. углы при основании равны, знчит угол А= углу С=(180-30):2=75град..

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 30 градусов на боковую сторону опущена высота. найти угол между этой высотой и основанием решение задачи

т. к. АН — высота (по условию), то треугольник АНС-прямоугольный, значит угол НАС= 90- угол С=90-75=15град.

Огэ 2016 математика 9 класс ященко решения с ответами 2016 год.

Тема длина окружности и площадь круга 6 класс задачи.

Дано: АВС — равнб. треуг., с основанием АСАН-высота, угол В=30град. Найти:угол НАС. Решение:т. к. треугольник АВС-равнобедренный (по условию), то по св-ву равноб. треугол. углы при основании равны, знчит угол А= углу С=(180-30):2=75град.. т. к. АН — высота (по условию), то треугольник АНС-прямоугольный, значит угол НАС= 90- угол С=90-75=15град. Ответ:15град.

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 30 градусов на боковую сторону опущена высота. найти угол между этой высотой и основанием решение задачи

2)радиус опсанной окружности

3)радиус вписанной окружности

5)площадь полученного треугольника.

основание р/б тр. 8см а угол при вершине 90 град. Найдите длину высоты опущенной на оснавание

Решение задач по математике 2 класс 1 часть истомина.

В куб вписан шар площадь поверхности которого равна 4п найдите объем.

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 30 градусов на боковую сторону опущена высота. найти угол между этой высотой и основанием решение задачи

АВС — равнобедренный. треугольник., с основанием АС

т. к. треугольник АВС-равнобедренный (по условию), то по свойству равноб. треугол. углы при основании равны, знчит угол А= углу С=(180-30):2=75град..

т. к. АН — высота (по условию), то треугольник АНС-прямоугольный, значит угол НАС= 90- угол С=90-75=15град.

{ Comments are closed }

Презентация по теме: Пространственная теорема Пифагора. — презентация

Презентация была опубликована 4 года назад пользователемВладислав Стрекопытов

Похожие презентации

Окружность пересекает стороны ab и ac треугольника abc в точках kp.

1 Презентация по теме: Пространственная теорема Пифагора.

2 …Геометрия владеет двумя сокровищами — теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем… Иоганн Кеплер.

3 Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. В стереометрии есть несколько аналогов пространственной теоремы Пифагора. Чаще всего, это теорема о квадрате диагонали в прямоугольном параллелепипеде. Иногда — это формула расстояния между двумя точками пространства в прямоугольных координатах. Докажем пространственную теорему Пифагора из учебника Л. С. Атанасяна.

4 Теорема. Е сли все плоские углы при одной из вершин тетраэдра — прямые, то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площадей остальных граней.

5 Дано: тетраэдр Доказать:

6 Доказательство: Пусть – площади треугольников ОАВ, ОВС, ОСА и АВС,- величины двугранных углов с ребрами АВ, ВС, СА, точка Д – проекция точки О на плоскость грани АВС. Поскольку то точка Д лежит внутри треугольника АВС. Треугольники ОАВ, АВС и ОСА являются проекциями треугольника АВС, поэтому Треугольники АВД, ВСД, САД являются проекциями треугольников ОАВ, ОВС и ОСА на плоскость грани АВС, причем сумма площадей этих треугольников равна площади S треугольника АВС. Таким образом (Scos ) cos +(S cos ) cos +(S cos ) S cos = S (cos +cos +cos ) =S. Следовательно, cos +cos +cos =1. Поэтому S A +S B +S C =S (cos +cos +cos )= S. S C, S A, S B и S

Все грани призмы равные ромбы найти угол между прямой и плоскостью.

Это первый урок из серии видеоуроков, посвященных задачам B13. Перед нами стандартная задача, которую часто дают на пробниках и контрольных работах. Однако решать ее мы будем весьма нестандартным методом.:)

Задача B13. Дан многогранник, изображенный на рисунке. Все двугранные углы прямые. Найдите, насколько расстояние между вершинами A и C2 отличается от квадрата расстояния между вершинами E и G1. В ответ запишите положительное число.

Для решения любых таких задач нам потребуется обобщенная теорема Пифагора. Давайте отмотаем время назад и вспомним, что такое обычная теорема Пифагора. У нас есть прямоугольный треугольник с катетами a , b и гипотенузой c :

В этом случае квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Презентация решение системы линейных уравнений матричным методом.

Но все это рассматривается лишь на плоскости, потому что треугольник — это плоская фигура. Однако та же самая формула работает и в пространстве.

Теорема Пифагора в пространстве . Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, или, просто говоря, кирпич. Такой параллелепипед однозначно задается своими сторонами a , b и c . Кроме того, у него есть главная диагональ. Эта диагональ соединяет наиболее удаленные точки параллелепипеда. Разумеется, если параллелепипед прямоугольный, то таких диагоналей сразу несколько, при этом все они будут равны и будут считаться по одной и той же формуле.

Диагональ обозначим буквой l . В этом случае можно записать формулу:

l 2 = a 2 + b 2 + c 2

Как связана теорема Пифагора и расстояния между точками в пространстве

Возможно, кто-то сейчас спросит: а какое отношение диагональ, тем более, в параллелепипеде имеет к нашему прямоугольному треугольнику со сторонами a , b и c ? Отношение, на самом деле, самое прямое. Давайте достроим наш треугольник до прямоугольника, и получим, что гипотенуза c является диагональю на прямоугольнике.

Таким образом, перед нами, по сути, аналог теоремы Пифагора для трехмерного пространства. Давайте немножко перепишем ее:

Внимательные ученики наверняка заметят, что эта формула очень похожа на формулу расстояния в трехмерном пространстве между точками a и b . Разумеется, при условии, что точка A лежала бы в начале координат, а точка B имела координаты, равные длинам сторон нашего параллелепипеда:

A = (0; 0; 0);
B = ( a , b , c ).

Однако ничего удивительного в этом нет, потому что длина диагонали l — это как раз и есть расстояние между наиболее удаленными точками параллелепипеда.

Как изобразить эскиз графика производной функции по графикам.

Но хватит теории, давайте перейдем непосредственно к нашей задаче. Итак, в первую очередь нужно найти расстояние от точки A до точки C 2. И вот для того, чтобы найти это расстояние, сейчас мы воспользуемся замечательным приемом, который называется обход точек.

Метод обхода точек заключается в следующем:

  1. Построим систему координат с осями, параллельными ребрам нашего многогранника. Назовем эти оси x , y и z .
  2. А теперь давайте поставим ручку в нашу точку A и попытаемся каким-то образом, двигаясь по ребрам, добраться до точки C 2.

Нахождение диагонали методом обхода точек

Разумеется, последовательность осей может быть любой, решение и ответ от этого не изменится. И двигаться из одной точки в другую тоже можно по-разному. Например, можно идти к точке B , затем к точке C , затем вверх до точки B 2 и, наконец, двигаться вдаль — и мы попадем в точку C 2:

Давайте разметим, полученный нами путь:

  1. Из точки A в точку B мы двигались вдоль оси x в положительном направлении. Запишем: 1x;
  2. От точки B в точку C мы двигались вдоль оси игрек опять же по положительному направлению, то есть вглубь. Так и запишем 1y;
  3. Затем мы шагнули на два шага вверх из точки C в точку B 2. так и напишем: 2z;
  4. Еще один шаг из точки B 2 в точку C 2 вдоль y , т. е. вглубь нашего рисунка. Запишем: 1 y .

А теперь, когда мы отметили каждое звено нашей ломанной, соединяющие точки A и C 2, выпишем, сколько шагов мы получили вдоль каждой координатной оси с учетом знаков:

Теперь возвращается к нашей обобщенной теореме Пифагора и замечаем, что оси x , y и z — это, по сути, a , b и c , т. е. длины сторон параллелепипеда. Следовательно, мы можем посчитать длину диагонали этого параллелепипеда:

Вот и все! Мы получили расстояние от точки A до C 2, согласно рисунку нашего многогранника.

Диагональ параллелепипеда не зависит от маршрута обхода

Однако внимательные ученики спросят: а что будет, если мы пойдем по другому пути? Ведь от точки A до точки C 2 можно идти и другим путем: сначала вверх до точки A 1, затем вглубь до точки G 1, затем вверх до точки A 2, затем снова в глубину до точки D 2, и, наконец вправо до точки C 2:

Получили совсем другой маршрут, и возникает логичный вопрос: не будет длина на этом маршруте иметь совсем другое значение координат x , y и z , и, соответственно, другое значение l ? Давайте проверим.

Размечаем наш второй маршрут:

  1. из точки A в точку A 1 мы попадаем, смещением оси z на единичку: 1z;
  2. из точки A 1 в точку G 1 мы попадаем, смещением по y на единичку: 1y;
  3. из точки G 1 в точку A 2 — смещение по z : 1z;
  4. из точки A 2 в точку D 2 — смещение по y : 1y;
  5. от D 2 до C 2 — смещение вправо, т. е. в положительную сторону по x : 1 x .

Выписываем полученные смещения:

Итого выражение для диагонали l получилось в точности тем же самым:

Таким образом, мы убедились, что итоговое значение величины l , т. е. расстояние между точками A и C 2 не зависит от того, каким маршрутом мы будем идти из одной точки в другую. Следовательно, при решении реальных задач вы вправе выбрать любой маршрут, который будет удобен именно вам. И вообще, тот факт, что расстояние между двумя точками не зависит от того, как это расстояние мерить, на самом деле вполне логичен. Мы же занимаемся математикой, а не гаданием на кофейной гуще. Поэтому, по какому бы пути мы не пошли, ответ получится одним и тем же.

Расстояние между двумя точками в пространстве не зависит от того, как мы это расстояние считаем. Если все расчеты выполнены правильно, ответ получится одним и тем же.

Дано натуральное число n найти количество и сумму цифр в нем.

Возвращаемся к нашему заданию и переходим ко второй его части. Нужно найти расстояние между точкой E и точкой G 1. Опять предлагаю воспользоваться методом обхода точек. Начнем путь от точки E , будем двигаться к точке D , потом из точки D в точку D 1, и потом от D 1 напрямую в точку G 1:

Размечаем нашу ломанную:

  1. из точки E в точку D мы попадаем смещением по оси y на единицу в сторону, противоположную положительному направлению оси: -1y;
  2. затем мы поднимаемся вверх на одну единицу по оси z , т. е. этот отрезок ломанной обозначаем как 1z;
  3. потом мы смещаемся влево из точки D 1 в точку G 1 на две единицы вдоль оси x и получаем -2 x .

Давайте запишем, что у нас получилось:

По каждой из осей зафиксировано лишь одно смещение, ничего складывать, как в предыдущих случаях, не надо. Просто находим длину отрезка, соединяющего точки E и G 1. Давайте назовем этот отрезок l 2. Его длина равна:

В треугольнике авс de средняя линия площадь треугольника cde равна 59.

Вспоминаем, что от нас требуется найти в условии задачи. А от нас требуется квадрат расстояния между этими вершинами. Следовательно, нам нужна величина:

При произведении в квадрат корень исчезает.

Внимательно читайте условие задачи. Недостаточно просто найти длину отрезка или значение переменной — нужно предъявить именно ту величину, которую у нас спрашивают.

Осталось найти ту самую разницу, которую от нас требуют найти в условии задачи. Назовем ее ∆:

Вот мы и нашли ответ — он равен 3.

Ключевой прием — обход точек

Еще раз — ключевая идея решения всей этой задачи. Она состоит в том, чтобы прямо на рисунке начертить путь из одной искомой точки в другую и посмотреть: вдоль каких координатных осей выполняется смещение и насколько. Затем мы выписываем эти смещения и считаем общее расстояние по обобщенной теореме Пифагора.

При этом возникает замечательный эффект: итоговое расстояние, которое мы считаем, не зависит от того, какой маршрут обхода мы выберем. В любом случае, как бы мы ни шли из одной точки в другую, расстояние получится одним и тем же. Разумеется, при условии, что все вычисления будут выполнены верно.

Аналогичным образом мы считаем второе расстояние. Пусть вас совершенно не смущает, что тут получаются отрицательные координаты, потому что при возведении в квадрат минусы сжигаются. Наконец, остается сосчитать ту самую разницу, которую требуется найти в условии задачи. Тут вообще все очень просто, и никаких дополнительных пояснений не требуется.

Краткая сводка по задачам B13

Итак, мы решили задачу B13 мы будем методом обхода точек. Давайте еще раз посмотрим, из каких шагов состояло наше решение:

  1. Добавить к рисунку оси координат, параллельные ребрам многогранника;
  2. Начертить «траекторию движения» от одной точки до другой, двигаясь исключительно по ребрам исходного многогранника;
  3. Выяснить, вдоль какой оси происходит смещение на каждом отрезке полученной ломаной, и посчитать общее смещение;
  4. Найти итоговое расстояние по обобщенной теореме Пифагора: l 2 = a 2 + b 2 + c 2 , где a , b , c — суммарные смещения вдоль каждой из осей.

Но что будет, если выбрать другой маршрут? Не случится ли так, что при этом возникнут другие суммарные смещения и, следовательно, другое расстояние? Спешу вас обрадовать: суммарные смещения и расстояние между точками не зависит от выбранного маршрута. Мы убедились в этом лично, когда рассмотрели альтернативный маршрут обхода.

В общем, чертите путь так, как вам удобно — ответ всегда будет одним и тем же. В этом и состоит прелесть метода обхода точек.

Методы принятия решения в инновационном менеджменте.

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть уроки «Часть 3. Иррациональные числа. Выводы», «Основы геометрии»

В треугольнике abc ac bc высота ah равна 24 bh 7 найдите cosbac.

Мы знаем, что если у двух треугольников равны две стороны и углы между ними тоже равны, то такие треугольники обязательно равны. Это один из признаков равенства треугольников.

Биссектриса угла параллелограмма делит одну из его сторон.

Если один из углов треугольника прямой и во втором треугольнике тоже один из углов прямой, то эти углы равны друг другу. И если стороны, заключающие прямые углы (а стороны, которые заключают прямые углы, называются катетами), равны, то равны и сами прямоугольные треугольники. Но это, в свою очередь, означает, что если мы знаем два катета прямоугольного треугольника, то гипотенуза определена одним единственным образом, который мы и рассмотрим.

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 и.

Еще в Древнем Египте было известно, что если взять прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 4 единицы, то гипотенуза обязательно будет равна 5 единицам.

Рис. 1. Египетский треугольник

В Древнем Египте часто пользовались таким треугольником. Он называется египетским треугольником (рис. 1). Это самый маленький из прямоугольных треугольников с целыми сторонами. Вы можете сложить прямоугольные треугольники с помощью спичек и увидеть, что если хотя бы какой-нибудь из катетов будет меньшим числом, то гипотенуза обязательно не будет целым числом.

Электричество и магнетизм методика решения задач.

Мы готовы сформулировать теорему Пифагора и записать формулу, которая позволит вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны катеты этого прямоугольного треугольника:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Рис. 2. Прямоугольный треугольник

– эта формула и называется теоремой Пифагора (рис. 2).

Теорема Пифагора формула

— в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Задачи на совместную работу с дробями 5 класс никольский с решением.

Докажем теорему Пифагора.

Задача № 1. Дано: прямоугольный треугольник АВС, в котором угол С – прямой (90 °). Катет ВС = a, катет АС = b, гипотенуза АВ = с (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к теореме Пифагора

В формуле, которую нам необходимо доказать, фигурируют квадраты трех величин: квадраты с, а и b. В геометрии мы сталкиваемся с квадратами длин отрезков, когда считаем площади фигур. Но и, наверное, самая простая фигура, площадь которого можем посчитать – квадрат. Соответсвенно, первая мысль – достроить эту картинку до квадратов. Достроим треугольник АВС до квадрата со стороной а+b.

Для этого продолжим катет АС на длину катета ВС (+ а), а ВС на длину катета АС (+ b) (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Достроим получившуюся картинку до прямоугольника (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к теореме

У этого прямоугольника смежные стоороны равны (а+b). Значит, этот прямоугольник обязательно является квадратом. Обозначим получившиеся точки буквами. Получим квадрат СDEF.

Все стороны этого квадарта равны (а + b). Соответственно, стороны DE и EF тоже можем разделить на отрезки а и b. Обозначим эти точки буквами G и H. Соединим точку А с точкой G, точку G с точкой Н, точку Н с точкой В (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

Квадрат СDEF оказался разрезанным на 5 фигур: 4 треугольника по углам и 1 четырехугольник в центре. Если этот четырехугольник окажется квадратом, то это будет удобно для нас. Но это сначала нужно доказать.

Выясним, что мы знаем про получившуюся фигуру. Все 4 треугольника обязательно являются прямоугольными, потому что каждый из них содержит один из углов квадрата (Ð С = Ð D = Ð Е = Ð F = 90°). Катеты в этих треугольниках равны а и b. Значит, все эти треугольники равны друг другу (по двум сторонам и углу между ними). А если все эти треугольники равны друг другу, то равны все их соответсвенные элементы. Например, все гипотенузы у них обязательно равны с (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к теореме

Значит, четырехугольник АGНВ – ромб. Четырехугольник, у которого все стороны равны, называется ромб. Мы доказали, что все стороны равны, АG = GН = НВ = ВА = с. АGНВ – ромб.

Гипотенуза не единственное, что равно у наших треугольников. Еще у них равны все острые углы. Отметим это на картинке. Во-первых, равны Ð САВ = Ð DGA = Ð EHG = Ð FBH. Зеленым цветом обозначим эти углы, величиной α. И такие углы тоже равны: Ð СВА = Ð DAG = Ð EGH = Ð FHB. Красным цветом обозначим углы величиной b (рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к теореме

На нашей картинке отмечено очень много углов, но не все. Остался, например, не отмеченным Ð GАВ. Вычислим его.

Эти три угла вместе, Ð DAG, ÐGAB, Ð CAB, составляют развернутый угол. Соответственно:

Ð GАВ = 180° — Ð CAB — Ð DAG = 180 ° — α — b.

Преобразуем эту формулу следующим образом:

Ð GАВ = 180° — (α + b).

У нас получилась сумма (α + b). Что такое сумма (α + b)? Это сумма острых углов прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Поэтому получается:

Ð GАВ = 180° — (α + b) = 180° — 90° = 90°. То есть Ð GАВ – прямой. А значит наш ромб АGНВ является квадратом. Если в ромбе один из углов прямой, то этот ромб обязательно квадрат.

Мы получили: большой квадрат СDEF, квадрат меньше АGНВ. Можно начинать записывать площади.

С одной стороны, СDEF – квадрат и его площадь можно посчитать как квадрат стороны:

С другой стороны, этот квадрат состоит из 5 фигур: 4 треугольников и квадрата в центре. Площадь квадрата в центре равна с 2 , а четыре треугольника равны друг другу и площадь каждого из них – половина произведения катетов.

Площадь четырехугольника СDEF не зависит от того, каким образом мы с вами ее считаем. Она всегда одна и та же. Соответственно, мы можем приравнять наши равенства, но сначала их надо преобразовать.

В первом равенстве раскрываем квадрат суммы:

Во втором случае:

Первое выражение равно второму.

И там, и там есть 2аb. От них легко отказаться – сократим их. И получим:

То есть в нашем прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Что и требовалось доказать.

Это доказательство – не единственное доказательство теоремы Пифагора. У нее очень много доказательств. Теорема Пифагора занесена даже в Книгу рекордов Гиннеса за счет того, что у нее так много доказательств. Интересным является тот факт, что многие из них почти не требуют алгебры. Вот, например, в Древней Индии использовали такой способ доказательства.

Тема углы треугольника основные определения и факты.

Рисовали 2 одинаковых квадрата. Один такой, как у нас уже был нарисован (№1). И второй тоже со стороной (а + b). Такой же квадрат, но разрезали его немного по-другому (№2) (рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к теореме

Сначала его разрезали на 4 фигуры: 2 квадрата. Один со стороной а, второй со стороной b. Соответственно, по углам оставались прямоугольники со сторонами а и b. А дальше каждый из этих прямоугольников со сторонами а и b разрезали пополам на 2 треугольника.

Теперь получается 2 одинаковых квадрата, по-разному разрезанных. И в этих одинаковых квадратах есть одинаковые фигуры. Даже в одном и том же положении. Их равенство выделено одинаковыми цветами на рисунках (рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к теореме

Если у каждой картинке вырезать эти треугольники, то на одной картинке остается квадрат со стороной с и площадью с 2 ; а на другой картинке остается 2 квадрата со сторонами а и b, сумма площадей этих квадратов – это а 2 + b 2 .

Такое доказательство использовали в Древней Индии.

Теорема о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике.

Также есть другое доказательство, благодаря которому стало известно про «пифагоровы штаны, которые во все стороны равны». Посмотрите на картинку (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к теореме

На катетах прямоугольного треугольника построены квадраты. На гипотенузе тоже построен квадрат. Его вырезали, и осталось пустое место (для удобства окрашен в зеленый цвет). Квадраты, которые образованы на катетах, разрезаны на 5 кусочков. Попробуем сложить из этих кусочков квадрат на гипотенузе. (Из двух маленьких квадратов построили большой на гипотенузе. Каждый кусочек со своей окраской показывает расположение в большом квадрате.)

Рис. 12. Иллюстрация к теореме

Мы видим, что квадрат, построенный на гипотенузе, собран из кусочков квадратов, построенных на катетах (рис. 12). То есть площадь этого квадрата с 2 равна сумме площадей этих квадратов а 2 + b 2 .

Список литературы по теме «Теорема Пифагора» (формула, доказательство)

  1. Александров А. Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. Геометрия, 7–9.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание на решение задач по формулам по теореме Пифагора

Презентация по теме: Пространственная теорема Пифагора. - презентация

  1. Найти гипотенузу c, если а, b – катеты. а = 5 см, b = 6 см.
  2. Найти в дополнительной литературе различные доказательства теоремы Пифагора (2–3).

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Решение задач на определение финансового результата от продажи товаров.

{ Comments are closed }

Найдите точку максимума функции y 13+30x-2x корень из x

Тесты по алгебре 7 класс линейная функция и ее график.

Найдите точку максимума функции y 13+30x-2x корень из x

Задание 12. Найдите точку максимума функции y=10+6x-2x√x.

Найдем точки экстремума функции. Перепишем функцию в виде

вычислим производную и приравняем ее нулю, получим:

Найдите точку максимума функции y 13+30x-2x корень из x

Нашли одну точку экстремума функции, которая и будет точкой максимума функции.

Как по графику определить наибольшее значение функции.

Ответ оставил Гость

Дано: y=13+30x-2x√x
Производная функции: y = 30-2*(3/2)√x=30-3√x=0
30=3√x ⇒√x=10
x=100
+ — f(x)
—————-100—————
возрастает убывает f(x)
Точка максимума: x=100, y=1013

Если тебя не устраивает ответ или его нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету Алгебра.

Радиус окружности вписанной в правильный треугольник равен 6 найдите сторону треугольника.

Найдите точку максимума функции y = 13^1+8x — 2x^2

у-квадратичная функция, графиком функции является парабола а=-2 ⇒ ветки направлены вниз ⇒ вершина параболы и есть точка максимума координаты вершины х0=-b/2a=-8/2(-2)=2 y(2)=13+16-8=21 (2,21) — вершина, точка максимума

{ Comments are closed }

Простые проценты. Решение задач

Задачи на простые проценты встречаются в школьном курсе алгебры, экономике, банковской сфере и т. д. Без понимания их содержания и знания формул решить задачи часто бывает сложно. Ниже на распространенных примерах будут даны основные задачи и формулы для их решения.
Процентом ( процентом ) от числа А называется одна сотая часть этого числа. Слово «процент» произошло от латинского pro centо , что значит «с сотни ». Обозначение процентов « % » происходит от искажения письменного сto .
Например: 10% = 0,1; 10 часть числа А .
В случае кредитов и депозитов используют формулы для вычисления простых процентов на период в годах, месяцах и днях. Задачи не требуют сложных вычислений и понравятся как школьникам, так и тем, кто первый раз знакомится с процентами. На практике проценты используют в банковской сфере, химии, медицине, хозяйстве.

Другая часть задач касается нахождения содержания чего-то по известным процентами, или наоборот — за содержанием найти процентное соотношение.

Оба типа задач будут рассмотрены ниже.

Объяснение темы по математике 6 класс виленкин решение уравнений.

Формула простого процента на период в годах
P[i]=P*(1+n/100*r) где P[i] – увеличение величины P через r лет, если ставка составляет n процентов. Величиной P могут выступать депозиты, кредиты, материалы.

Задача 1. Вкладчик разместил сумму размером 2400 рублей в банк. Определите, какую сумму получит вкладчик через 3 года, если процентная ставка составляет 19 % в год.

Решение: Данные задачи подставляем в формулу простых процентов
P[3]=2400*(1+19/100*3)=3768 (рублей.)
Таким образом за 3 года вкладчик получит 3768 рублей.

Найдите площадь ромба с диагоналями 5 см и 13 см.

Кроссинговер задачи по биологии генетика с решением.

Обратной задачей на проценты называют такую, в которой за неизвестные выступают количество лет или процентная ставка.

Задача 2. Вкладчик взял в кредит 3000 рублей и должен вернуть через пять лет. Найти процентную ставку кредита, если известно, что нужно отдать банку 8100 грн.

Решение: Выведем формулу для этой задачи.
P[i]=P*(1+n/100*r);
P[i]/P=1+n/100*r;
n= (P[i]/P-1)/r*100. Выполняем вычисления по выведенной формуле
n= (8100/3000-1)/5*100=1,7/5*100=34 (%).
Следовательно, процентная ставка кредита составляет 34 %.
Если в обратной задачи на проценты нужно найти количество лет, то нужная формула на основе предыдущих выкладок будет выглядеть
r= (P[i]/P-1)/n*100

Периметр ромба равен 120 а один из углов равен 30.

Формула простых процентов в этом случае будет иметь вид
P[i]=P*(1+n/100*m/12) здесь обозначено m – количество месяцев ( month ).

Задача 3. Вкладчик разместил сумму размером 1600 рублей в банк на один год, однако ему пришлось забрать деньги через семь месяцев. Процентная ставка при досрочном снятии депозита составляет 9 % в год. Найти сумму, которую получит вкладчик.

Решение: Применяем формулу для вычислений

P[3]=1600*(1+9/100*7/12)=1684 (рублей.)
За 7 месяцев вкладчик получит 1684 рублей.
Из приведенной формулы достаточно просто получить все необходимые величины для обратной задачи.
Количество месяцев определяют по формуле
m= (P[i]/P-1)/n*100*12

а процентную ставку находят из зависимости
n= (P[i]/P-1)/m*100*12

Диаметр описанной окружности около равнобедренного треугольника.

Данный тип задач применяют при имитации кратковременных кредитов или депозитов. Формула начислений имеет вид
P[i]=P*(1+n/100*d/365)

Задача 4. Заемщик получил кредит на сумму 20000 рублей под 32% годовых. Через 240 дней кредит был полностью погашен. Рассчитайте, какую сумму заемщик отдал банку? Насколько отличается эта сумма от одолженной?

Решение: Применяем формулу простых процентов для вычислений
P[i]=20000*(1+32/100*240/365)=24208,22 (рублей)
24208,22-20000=4208,22 (рублей)
Получили, что за этот период насчитана сума 4208,22 рублей .

Найти площадь квадрата с диагональю 3 корня из 2.

Задача 5. В класс закупили 3 энергосберегающие окна, которые на 20 % дороже обычных. Сколько потратили денег, если за обычные окна нужно заплатить 1400 гривен.

Решение: Найдем цену энергосберегающего окна
P[в]=1400*(1+20/100)=1680 (грн.)
За три окна заплатили
1680*3=5040 (грн) .

Задача 6. В бочке объемом 200 литров перевозили масло . На станции отлили 60 литров. Сколько процентов от обьема осталось?

Решение: Задача состоит в нахождении количества в процентах масла от общего объема бочки.
200-60=140 (л);
140/200*100%=70 %
Осталось 70% объема бочки.

Задача 7. При несвоевременной уплате долгов насчитывают 2% пени за каждый просроченный день. Какую сумму нужно заплатить через 12 дней после срока погашения 500 рублей долга?

Решение: По формуле простых процентов находим
P[i]=500*(1+2/100*12)=620 (рублей)
Нужно заплатить 620 рублей.

Рассмотрим задачи из учебника для 9 класса авторов А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир « Аглгебра ». (Номер в скобках)

Задача 8. (542) К сплаву массой 600 г, содержащему 12 % серебра, добавили 60 г серебра. Какое содержание серебра в новом сплаве?

Решение: Определяем сколько грамм серебра в первом сплаве
P[i]=600*12/100=72 (г)
К найденному значению добавляем 60 грамм серебра
P1=72+60=132 (г)
При определении процентного содержания серебра не следует забывать, что вес нового сплава вырос на массу серебра, которую добавили.
Если би Вы вычисляли следующим образом
132/600*100%=22%
то получили — неправильный результат .
ЗАПОМНИТЕ: в подобных задачах сначала находят меру ( вес, объем, длину) нового объекта, а затем находят содержание.
В заданной задачи новый сплав получит массу
P2=600+60=660 (г)
а процентное содержание серебра
P1/P2*100%=132/660*100%=20 %
будет следующим — 20% .

Задача 9. (543) В саду росли яблони и вишни, причем яблони составляли 42% всех деревьев. Вишен было на 48 деревьев больше, чем яблонь. Сколько деревьев росло в саду?

Решение: К правильному ответу можно идти несколькими способами. Рассмотрим следующий из них.
Пусть яблони составляют 42% всех деревьев, тогда вишни
100-42=58%.
Вишен на 48 больше нежели яблонь.
Разница между ними в процентах составляет
58-42=16%
а в количестве — 48 деревьев.
Задача состоит в нахождении количества деревьев, поэтому складываем отношения
16% – 48 деревьев
100 % – Х деревьев
Отсюда находим количество деревьев в саду
Х=100*48/16=300 (деревьев).

Задача 10. (544) За два дня был проложен кабель. За первый день проложили 56% кабеля, а за другой — на 132 м меньше, чем первого. Сколько всего метров кабеля было проложено за два дня?

Решение: Задача похожа на предыдущую. За второй день проложили
100-56=44%
кабеля, разница между первым и вторым днем составляет
56-44=12%
и составляет 132 метра.
На основе этого составляем отношение
12% – 132 м
100 % – Х м
Отсюда находим искомую длину
Х=100*132/12=1100 (м.)
За два дня проложили 1100 м.. кабеля.

Задача 11. (545) За первый день мальчик прочитал 25% всей книги, за второй — 72% от количества страниц что осталась, а за третий — остальные 84 страницы. Сколько страниц в книге?

Решение: 72 % процента от остатка книги составляет
72*(100-25)/100= 54% .
На третий день оставалось прочитать
100-25-54=21%
или 84 страницы.
Составляем соотношение
21% – 84 ст
100 % – Х ст
с которого находим
Х=100*84/21=400 (ст),
что книга содержит 400 страниц.

Решение задач к егэ по математике профильный уровень.

В данную категорию входят задачи , которые вызывают немало трудностей у школьников. Однако , если достаточно хорошо разобраться в их решении, то все сложности отходят на второй план.

Задача 12. (547) Морская вода содержит 5% соли. Сколько пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 2% ?

Решение: Находим вес соли в 40 кг морской воды
40*5/100=2 (кг).
Находим вес воды, которая содержала 2% соли (2 кг)
2% – 2 кг
100 % – Х кг
или
Х=100*2/2=100 кг.
Сейчас у нас есть 40 кг воды, поэтому нужно добавить
100-40=60 кг
пресной воды.

Задача 13. (554) Перемешали 30- процентный раствор соляной кислоты с 10- процентным раствором и получили 800 г 15 — процентного раствора. Сколько граммов каждого раствора взяли для этого?

Решение: В таких задачах требуется составить два уравнения, решение которых и приведет к отысканию нужных величин.
Обозначим A – вес первого раствора, B – соответственно второго.
Тогда из условия задачи составляем два уравнения:
первый касается процентных соотношений ( * 100 )
30*A+10*B=800*15
второе — веса смеси
A+B=800.
С второго выражаем одну из неизвестных и подставляем в первое уравнение
A=800-B;
30*(800-B)+10*B=800*15
и решаем его
24000-30*B+10*B=12000;
20*B=24000-12000=12000;
B=12000/20=600 (г).
Массу первого раствора находим из зависимости
A=800-B=800-600=200 (г).
Следовательно, нужно 600 г 30% раствора и 200 г 10% раствора соляной кислоты.

Задача 14. (560) К сплаву меди и цинка, содержащему меди на 12 кг больше, чем цинка, добавили 6 кг меди. Вследствие этого содержание цинка в сплаве снизилось на 5%. Сколько цинка и сколько меди содержал сплав в самом начале?

Решение: Обозначим вес меди через X, тогда вес цинка – X-12 .
Процентное содержание цинка при этом составляет
(X-12)/(X+X-12)*100%=(X-12)/(2*X -12)*100%.
К сплаву добавили 6 кг меди. Вес меди теперь составляет X+6 ,
а сплава
X+6+X-12=2*X-6 .
Процентное содержание цинка в новом сплаве
(X-12)/(2*X-6)*100% .
Разница между предыдущим сплавом и новым составляет 5%. Это запишем в виде уравнения

Задачи на расчет количества теплоты с решением.

Задача 1. Под какой процент была вложена 4000 рублей, если через 8 лет сумма наращенного капитала составила 7000 рублей.

I = S – p = 7000 – 4000 = 3000 руб .

i = 100*I/(P*n) = 100*3000/(4000*8) = 9,4%

Сумма была положена под i = 9,4%

Задача 2. Определить сумму наращенного капитала на 1 ноября, если клиент положил на депозитный счет 3 мая 15000 рублей под 15% годовых, а 2 августа ставка увеличилась на 4%. Расчеты ведутся по французской методике расчета процентов.

d 1 = с 3 мая по 2 августа = 91 день

Простые проценты. Решение задач

d 2 = со 2 августа по 1 ноября = 91 день

k = 360 дней (французская методика)

I 1 = P 1* i 1* d 1/( k *100) = 15000*15*91/(100*360) = 568,75 руб.

S1= P1+I1 = 15000 + 568,75 = 15568,75 руб .

I2 = P2* i2*d2/(k*100) = 15568,75*19*91/(100*360) = 747,735 руб .

S 2 = P 2+ I 2 = 15568,75 + 747,735 = 16316,485 руб.

Сумма наращенного капитала на 1 ноября составляет 16316,485 руб.

Отложите от данного луча угол равный 30 градусов.

Задача 3

1. На какой срок необходимо вложить 5000 рублей при 30% годовых, чтобы сумма дохода составила 560 рублей?

560 = (5000*30* d )/100*365;

150000* d = 20440000

Ответ: 5000 руб. надо положить на 136 дней, чтобы получить доход в 560 руб. при 30% годовых

Задача 4.

Клиент положил в банк депозит в размере 25 000 руб. 15 апреля. 19 июня клиент снял со счета 8 000 руб. Определить ставку банка по вкладу, если суммарный доход на 1 января по депозиту клиента составил 1000 руб. Расчеты ведутся по английской методике расчета процентов.

Р = 25000- 8000=17000 руб.

1000 = (17000* i *261)/100*365;

4437000* i = 36500000

Ответ: ставка банка по вкладу равна 8,2%

Задача 5 . На какой срок необходимо вложить 15 000 рублей при 9 % годовых, чтобы сумма дохода составила 2 000 рублей?

Для решения задачи воспользуемся формулой

i — процентная ставка;

n – срок в годах.

Из формулы получаем, что n = I *100% / P * i

n = 2 000 * 100 % / 15 000 * 9 % = 1,481 лет

Ответ: нужно вложить на 1, 481 лет.

Задача 6 . Клиент положил в банк депозит в размере 45 000 руб. 15 мая. 30 июля клиент снял со счета 7 000 руб. Определить ставку банка по вкладу, если суммарный доход на 1 января по депозиту клиента составил 6 000 руб. Расчеты ведутся по английской методике расчета процентов.

Для решения задачи воспользуемся формулой

i — процентная ставка;

d – срок в днях, на который положили деньги;

K — база измерения времени или продолжительность года в днях.

Английская практика (в России) – 365 дней.

Из формулы получаем, что i = I * 100% * K / P * d

P = 45 000 – 7 000 = 38 000 рублей

d = (31-15) +30+31+31+30+31+30+31+1 = 231

i = 6 000 * 100 % * 365 / 38 000 * 231 = 24,95 %

Ответ: ставка банка по вкладу 24,95 %.

Задача 7

Под какой процент была вложена 1000 рублей, если через 7 лет сумма наращенного капитала составила 5600 рублей.

1) Процентный платеж или доход кредитора:

I = S — P = 5600 – 1000=4600 руб.

S – сумма наращенного капитала

P — первоначальный капитал

2) Процентную ставку:

i =100* I /( P * n )=100*4600/(1000*7)=66%

n — время, выраженное в годах

Ответ: процентная ставка равна 66% годовых.

Задача 8

Определить сумму наращенного капитала на 12 октября, если клиент положил на депозитный счет 3 апреля 20 000 рублей под 15% годовых, а 12 августа ставка увеличилась на 2%. Расчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.

Согласно немецкой методике год условно принимается за 360 дней, а месяц – 30 дней.

1) Количество дней, в течении которых вклад лежал под 15 % годовых:

Август – 11 дней

d = 128 дней – время пользованию ссудой

2) Количество дней, в течении вклад лежал под 17 % годовых:

Август – 19 дней

Сентябрь – 30 дней

Октябрь – 12 дней

d = 61 день – время пользованию ссудой

3) Доход, получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой:

I = P * i * d /( k *100) = [20000*15+128/(100*360)] +[20000*17+61/(100*360)] = 1642 , 78 руб.

Р – первоначальный капитал

i – процентная ставка

d – количество дней

4) Сумма наращенного капитала:

S = P + I = 20000 + 1642,78 = 21642,78 руб.

Ответ: наращенный капитал равен 21642,78 руб.

Задача 9

Среднемесячная заработная плата за вычетом налогов на предприятии составила: в базисном периоде 1 1548 руб., в отчётном — 14005 руб., цены на потребительские товары и услуги повысились в отчётном периоде па 17,5%. Доля налогов в заработной плате в базисном периоде составляла 13%, в отчётном — 15%. Определите: 1.Индекс покупательной способности денег.

2.Индекс номинальной и реальной заработной платы.

Задача 10

Имеются следующие данные о составе и использовании денежных доходов населения РФ в текущих ценах, млрд руб.:*

* Россия в цифрах. 2008: Стат. сб. — М.: Росстат, 2008. С. 120.

Показатель 2006 г. 2007 г .

-доходы от предпринимательской деятельности 1915,1 2118,3

-оплата труда 11237,0 14940,0

-социальные выплаты 2080,4 2317,8

-доходы от собственности 1720,6 1423,1

-другие доходы 336,8 424,3

Денежные расходы и сбережения:

-покупка товаров и оплата услуг 11927,5 14792,4

-обязательные платежи и разнообразные взносы 1813,0 2661,0

-приобретение недвижимости 572,3 690,5

-прирост финансовых активов

Определить за каждый год:

1. Номинальные и располагаемые денежные доходы населения в текущих ценах.

2. Прирост финансовых активов.

3. Структуру денежных доходов и расходов населения.

4. Изменение структуры денежных доходов населения с помощью обобщающих показателей

Задача 11

Больший капитал вложен на 6 месяцев при ставке 5%, а меньший на 3 месяца при ставке 6%. Разница между двумя капиталами 1000 рублей. Найти величину капиталов, если известно, что процентный платеж по первому капиталу равен двойному процентному платежу за второй капитал.

Задача на простые проценты.

Задача 12

Сравнить доход по различным вкладам:

1 – 5000 рублей с 1 мая по 10 ноября по 15 % годовых (английская практика расчета процентов)

2 – 4000 рублей с 5 апреля по 28 августа под 20% годовых (немецкая практика расчета процентов).

Задача на простые проценты.

По английской практике расчета процентов в году 365 дней и в месяце число дней соответствует календарю. Значит, доход по первому вкладу нужно рассчитывать на следующее количество дней: 30+30+31+31+30+31+10=193;

I 1=( P 1* i 1* d 1) / ( K 1*100)=5000*15*193/(365*100)=396,58 руб.

По немецкой практике расчета процентов в году 360 дней и 30 дней в каждом месяце. Значит, доход по первому вкладу нужно рассчитывать на следующее количество дней: 25+30+30+30+28=143

I 2=( P 2* i 2* d 2) / ( K 2 *100)=4000*20*143/(360*100)=317,78 руб.

Следовательно, доход по первому вкладу больше, чем по второму на 78,8 рублей.

Задача 13

Капитал величиной 15 000 рублей вложен в банк на 3 месяца под 6% годовых. Найти сумму наращенного капитала.

Решение задачи на простые проценты:

Будем решать данную задачу с использованием методики простых процентов.

Определим доход от вклада 15 000руб, положенных в банк на 3 месяца:

I = P * i * m / (12*100) = 15000*6*3/ (12*100)=225 руб.

Сумма наращенного капитала

Задача 14

Клиент положил в банк депозит в размере 20 000 руб. 15 мая. 10 августа клиент снял со счета 15 000 руб. Определить ставку банка по вкладу, если суммарный доход на 1 февраля по депозиту клиента составил 11 000 руб. Расчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.

При определении числа дней ссуды по немецкой методике расчета процентов год условно принимается за 360 дней, а месяц – 30 дней. Учитывая это, посчитаем сколько дней составит время депозита в размере 20 000 рублей:

август – 10 дней.

Определим доход от депозитного вклада суммы 20 000 рублей на срок 85 дней:

I=(P*i*d) / (K*100)=20000*85*i/(360*100)=47,22 i.

После того, как клиент 10 августа снял со счета 15 000 рублей, сумма депозита составила 5 000 рублей. Посчитаем сколько дней составит время депозита в размере 5 000 рублей

август – 20 дней;

сентябрь – 30 дней;

октябрь – 30 дней;

ноябрь – 30 дней

декабрь – 30 дней

Тогда, I2=(P2*i*d2) / (K*100)=5000*170*i/(365*100)=23,288 i.

Задача 15

Под какой процент была вложена 5000 рублей, если через пять лет сумма наращенного капитала составила 3600 рублей.

По условию, была вложена сумма P =5000 рублей.

Сумма наращенного капитала I =3600 рублей.

i =3600/(5000*5)=0,144, т. е. 14,4%

Ответ: процент составляет 14,4% .

Задача 16

Определить сумму наращенного капитала на 1 октября, если клиент положил на депозитный счёт 3 апреля 20000 рублей под 15 % годовых, а 2 августа ставка увеличилась на 2 процента. Расчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.

По условию, была вложена сумма P =20000 рублей.

Размер процента составлял 15% с 3-го апреля по 2 августа и 15+2=17% — со второго августа до 1 октября.

Разобьём это время на два периода:

d 1=27+30+30+30+2=119-первый период по немецкой системе

d 2=28+30+1=59-второй период по немецкой системе

I = I 1+ I 2-наращеный капитал за два периода.

k – база дней по немецкой системе.

I=P*i*d/K=I1+I2= 20000*0,15*119/360+ 20000*0,17*59/360= 1548,99 рублей.

I 1=991,67 рублей

I 2=557,22 рублей

I =1548,99 рублей

Ответ: сумма наращенного капитала I =1548,99 рублей.

Задача 17

Капитал величиной 40000 рублей вложен в банк на 3 месяца под 6% годовых. Найти сумму наращенного капитала.

Задача 18

Клиент положил в банк депозит в размере 50000 руб. 15 мая. 10 августа клиент снял со счета 25000 руб. Определить ставку банка по вкладу, если суммарный доход на 1 февраля по депозиту клиента составил 5000 руб. Ресчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.
I = I 1+ I 2; Составим уравнение, решив которое получим: i = 31.5121%

Ответ: i = 31.5121%

Задача 19

Под какой процент была вложена 1000 рублей, если через 7 лет сумма наращенного капитала составила 5600 рублей.

I = S — P = 5600 – 1000=4600 руб.

S — наращенный капитал

P — первоначальный капитал

Теперь определим процентную ставку:

Ответ: процентная ставка равна 15,71% годовых.

Задача 20

Определить сумму наращенного капитала на 12 октября, если клиент положил на депозитный счет 3 апреля 20 000 рублей под 15% годовых, а 12 августа ставка увеличилась на 2%. Расчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.

Немецкая методика: год условно принимается за 360 дней, а месяц – 30 дней. При определении числа дней ссуды по календарю в России первый и последний дни не учитываются.

Сосчитаем количество дней, при которых вклад лежал под 15 % годовых:

Август – 11 день

Сумма – 128 дней

И количество дней, при которых вклад лежал под 17 % годовых:

Август – 19 дней

Сентябрь – 30 дней

Октябрь – 11 день

I = P * i * d /(100*360)=[20000*15*128/36000 ]+ [20000*17*60/36000 ] = 1633,33.

I = 1633,33 рубля, где

Р – сумма вклада

i – процентная ставка

d – количество дней

S = P + I = 20000 + 1633,33 = 2163,33 рубля.

Ответ: наращенный капитал равен 2163,33 рубля.

Начерти такой треугольник дополни его до прямоугольника найди площадь.

Педагогические технологии служат инструментом реализации этих трех уровней образования.

Одной из предметно-ориентированных технологий, построенных на основе дидактического усовершенствования и реконструирования учебного материала, является технология обучения на основе решения задач. Как сказал известный мыслитель Д. Пойа, “Чтобы научиться решать задачи, надо их решать”, при всей важности каждой отдельной задачи целостность образовательного процесса обеспечивается всем множеством задач по каждой теме, которые должны образовать систему.

Системой задач называется совокупность задач к блоку уроков по изучаемой теме, удовлетворяющая ряду требований.

  • Полнота.
  • Наличие задач на все изучаемые понятия, факты, способы деятельности, включая мотивационные.
  • Наличие ключевых задач
  • Группировка задач в узлы вокруг объединяющих центров – задач, в которых рассматриваются факты или способы деятельности, применяемые при решении других задач и имеющие принципиальное значение для усвоения предметного содержания.
  • Возрастание трудности в каждом уровне.
  • Система состоит из трех подсистем, соответствующих минимальному, общему и продвинутому уровням планируемого результата обучения.
  • Для каждой задачи определено ее место и назначение в блоке уроков.
  • Достаточно задач для тренажа в классе, дома, задач для закрепления, задач для индивидуальных, групповых работ, задач разной направленности, задач для самостоятельного решения, (в том числе исследовательского), задач для текущего, итогового контроля и т. д.
  • Психологическая комфортность.

Система задач – основной ресурс учителя для реализации эффективного образовательного процесса. От качества этого ресурса более чем наполовину зависит успех ученика при изучении курса. Остальные составляющие успеха – в организации деятельности учащихся и управлении этой деятельностью.

В системе учебных занятий особое значение имеют нетрадиционно построенные урок – лекция, уроки решения ключевых задач (вычисление минимального числа основных задач по теме, решение задач различными методами, решение системы задач, проверка решения задач учениками, самостоятельное составление задач), уроки – консультации (вопросы учащихся по заранее заготовленным карточкам, анализ, обобщение, дополнение карточек); зачетные уроки (выполнение индивидуального задания, коррекция в паре до полного понимания, выставление трех оценок – за ответ по теории, за решение задачи с карточки, за ведение тетради, мотивация оценок.)

Полезно параллельно рассматривать классические приёмы решения задач. Тогда у учащихся формируется целостное представление о способах решения задач данного типа. На этапе закрепления темы можно решать задачи по группам.

Класс разбивается на группы: по 4 учащихся за двумя соседними столами. Они обсуждают решение задачи, которая записана на карточке. Карточка выдаётся на каждый стол. Каждая группа получает карточки с одинаковыми задачами; различных задач 4. Задача считается решённой, если все члены группы сделали в своих тетрадях схему, записали исходные данные и решение задачи. Из такой группы учитель вызывает ученика, который оформляет решение задачи на доске. Итак, от каждой группы, где решена задача, отличная от той, что уже выполняется на доске. Группа, решившая свою задачу, получают новую карточку, с дополнительными задачами. А затем подключаются к решению задач, которые начали делать на доске представители других групп. Последние 4-5 минуты урока отводятся для разбора записанных задач. Учитель может поставить оценки ученикам, которые решали задачи у доски, и их группам или проверить тетради у двух-трёх групп по своему выбору.

Правильно подобранные технологии позволяют реализовать принцип гуманитаризации образования, дающий необходимые знания для адаптивного взаимодействия с окружающей социальной средой и обеспечивают развитие всех сфер личности, формируют у нее основы саморазвивающей деятельности.

Предлогаю открытый урок, который можно провести в 9-11 классах, где изучается тема “Сложные проценты”, материал урока соответствует продвинутому уровню планируемого результата обучения.

Простые проценты. Решение задач

Актуальность темы.

Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.

Во многих школьных учебниках можно встретить задачи на проценты, однако в них отсутствует компактное и четкое изложение соответствующей теории вопроса. В IX классе завершается линия процентных вычислений темой “Простые и сложные проценты”, включенной в изучение главы “Арифметическая и геометрическая прогрессии”. Сведения о простых и сложных процентах, которые сами по себе имеют большую практическую значимость, являются достаточно благоприятным материалом для применения знаний, полученных на уроках математики. Но в учебнике не водится формулы простых и сложных процентов и мало задач на эту тему. Учащиеся должны решать задачи, опираясь не на формулы, а на понимание, на смысл понятия “процент”, на умение находить процент от числа, что обычно вызывает затруднения при решении задач на сложные проценты. Более рациональное решение задачи достигается с помощью формул “сложных процентов”.

Текстовые задачи на проценты включены в материалы в государственную итоговую аттестацию за курс основной школы, в КИМы ГИА и ЕГЭ, в конкурсные экзамены. Однако практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся и очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни.

Предлагаемый урок демонстрируют учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства; ориентирует учащихся на обучение по естественно — научному и социально — экономическому профилю. Можно провести еще несколько уроков для закрепления темы, решения текстовых задач на проценты.

Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков вычислений сложных процентов, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности.

Цели урока:

  • обучение решению задач на проценты с помощью формул “сложных процентов”, обобщение методов решения задач проценты; научить переводить реальные предметные ситуации в различные математические модели; формирование умений решать задачи повышенной сложности;
  • знать широту применения процентных вычислений в жизни, решать основные задачи на проценты, применять формулу сложных процентов; производить прикидку и оценку результатов вычислений; при вычислениях сочетать устные и письменные приемы, применять калькулятор, использовать приемы, рационализирующие вычисления;
  • развитие логического мышления, умений работать в группе, навыков решения экономических задач на проценты;
  • воспитание у учащихся потребности в новых знаниях и творческой деятельности, привитие любви к процессу обучения.

Тип урока: уроки решения ключевых задач.

Оборудование: ЦОР “Устный счет по теме “Проценты”, презентация к теме “Сложные проценты”, таблица “Процент числа”, карточки с заданиями, интерактивная доска, компьютер, калькулятор.

I этап. Организационный момент (1 мин.)

Цель: ознакомить учащихся с темой и задачей урока, актуальность изучаемого материала, формирование учебной мотивации.

II этап. Повторение (5 мин)

Цель: повторение прежних знаний и навыков по теме “Проценты”.

а) Что называется процентом? (Процентом называется одна сотая часть какого-либо числа)

б) Как обозначается 1%? (1%? = 0,01)

в) Как называется 1% от центнера? (кг.) Метра? (см.) Гектара? (ар или сотый)

г) Что называется 1% процентом данного числа а? (Процентом данного числа а называется число 0,01•а, т. е. 1% (а) = 0,01*а )

д) Как определить р% от данного числа а? (найти число 0,01•р•а, т. е. р% = 0,01*р*а )

е) Как перевести десятичную дробь в проценты? (умножить на 100). А как проценты в десятичную дробь? (разделить на сто, т. е. умножить на 0,01)

ж) Как найти часть от числа в процентах? (Чтобы найти часть в от числа х в процентах, нужно эту часть разделить на число и умножить на 100, т. е. а(%)=(в/х)*100)

д) Как находится число по его проценту ? (Если известно, что а% числа х равно в, то х можно найти по формуле х = (в/а)*100)

Представьте данные десятичные дроби в процентах: 1; 0,5; 0,763; 1,7; 256.

б) Представьте проценты десятичными дробями: 2%; 12%; 12,5%; 0,1%; 200%.

Найдите % от числа:

в) 0,1% от числа 1200? (1,2)

г) 15% от числа 2? (0,30)

Найдите число по его проценту:

д) Сколько центнеров весит мешок сахарного песка, если 13% составляет 6,5 кг.? (50 кг.= 0,5 ц.)

в) Сколько процентов от 10 составляет 9?

Ответы: а) 9%, б) 0,09%, в) 90%; г) 900%?

III этап: Формирование новых знаний и навыков. (15 мин)

Цель: ознакомление с формулами “сложных процентов” и формирование навыков применения формул при решении задач.

Тема. Простые и сложные проценты. (Лекция + Презентация)

Эти термины чаще всего встречаются в банковских делах, в финансовых задачах. Банки привлекают средства (вклады) за определенные процентные ставки. В зависимости от процентной ставки вычисляется доход.

На практике применяются два подхода к оценке процентного дохода – простые и сложные проценты.

При применении простых процентов доход рассчитывается от первоначальной суммы вложенных средств не зависимо от срока вложения. В финансовых операциях простые проценты используются преимущественно при краткосрочных финансовых сделках.

Пусть некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на начальном этапе. Так вычисляются простые проценты.

При применении сложных процентов накопленная сумма процентов добавляется во вклад по окончании очередного периода начислений. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе. В этом случае имеем дело со “сложными процентами” (т. е. используются начисления “процентов на проценты”)

Первоначальная сумма и полученные проценты в совокупности называются накопленной (наращенной) суммой.

Так, если банковская ставка равна 10%, а первоначальная сумма 100 руб., то накопленная сумма за пять лет при применении простых и сложных процентов будет иметь вид:

Таблица 1. Накопленная сумма с использованием простых и сложных процентов.

{ Comments are closed }

Площадь квадрата = S найдите а) длину вписанной окружности б) длину дуги заключенной между двумя соседними точками касания в) площадь части квадрата

лежащей вне вписанной окружности

Площадь квадрата = S найдите а) длину вписанной окружности б) длину дуги заключенной между двумя соседними точками касания в) площадь части квадрата

Решение: а) тк окружность вписана в квадрат, то её радиус равен половине стороны квадрата: r = а:2=корень из S:2, тогда С = 2 пr= 2 х п(пи) х r = п х корень из S; б) длина дуги= длина окружности: 4 (тк 4 точки касания); в) S= площадь квадрата минус площадь круга и разделить на 4 = (S — пr2 (в квадрате)): 4= (S-п корень из S):4

В параллелепипеде abcda1b1c1d1 медианы треугольника авд.

Площадь квадрата = S найдите а) длину вписанной окружности б) длину дуги заключенной между двумя соседними точками касания в) площадь части квадрата

равен 24 см(сделайте чертёж)

Было бы отлично, если был бы рисунок. Заранее спасибо!

Вычислите площадь прямоугольного треугольника если его катеты равны 4 7.

Площадь квадрата равна S. Найдите: а) длину вписанной окружности б) длину дуги, ??аключенной между двумя соседними точками касания в) площадь части квадрата, лежащей вне вписанной окружности

A) C =2R; R=√S/2; C = √S б) длина дуги равна 1/4С = √S */4 в) = S — S/4

Основания трапеции равны 3 и 13 площадь равна 128.

1) R=a_ <3>/ sqrt <3>= S/sqrt

2) l= (pi*R*n)/180 = pi*( S/sqrt<3>)

3) Sтреугольника — S круга = abc — pi*R^2 = abc — pi*( S/sqrt<3>)

Решение с помощью уравнении задачи по математике 5 класс с ответами.

{ Comments are closed }

Вычислите площадь равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 75 градусов, а его боковая сторона 6см

Задачи прямоугольный треугольник синус косинус тангенс.

В треугольнике авс угол с 90 угол а равен 30 ав 40.

Нам нужно вычислить площадь равнобедренного треугольника, если известно, что угол при основании равен 75 градусов и боковая сторона — 6 см.

Задачи вступительных испытаний по математике в мгу с решениями.

  • вспомним определение равнобедренного треугольника;
  • вспомним свойства равнобедренного треугольника;
  • вспомним теорему о сумме углов треугольника;
  • найдем градусную меру всех углов треугольника;
  • вспомним формулу площади треугольника через стороны и угла между ними;
  • находим площадь треугольника.

Приказ о назначении уполномоченных на решение задач.

Вспомним определение равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине.

В решении задачи нам понадобится свойство равнобедренного треугольника:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Значит, исходя их этого мы можем сказать, что второй угол при основании равнобедренного треугольника равен 75 градусам.

Вычисли периметры прямоугольников у которых сумма длин сторон равна 4 см.

В этом нам поможет теорема о сумме углов треугольника, которая гласит:

Что сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Найдем градусную меру третьего угла нашего треугольника:

180 0 — 75 0 — 75 0 = 180 0 — 150 0 = 30 0

Теперь мы знаем градусную меру угла, заключенного между сторонами равными 6 см.

В треугольнике abc угол с равен 90 градусов bc 7 sina 0 5.

Вспомним формулу для нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.

S = 1/2 * a * b * sin α.

Вычислите площадь равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 75 градусов, а его боковая сторона 6см

Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними.

S = 1/2 * 6 * 6 * sin 30 0 = 36/2 * 1/2 = 36/4 = 9 см 2 .

Производная функция физический и геометрический смысл производной.

Угол при основании равнобедренного тругольника равен 75°. Боковая сторона треугольника равна 11. Найдите площадь треугольника

180°-(75+75)=30° — угол при вершине S=1/2*11*11*sin 30°=121/4

Как решать уравнение с синусом косинусом в экселе.

1. Т. к. углы при основании равнобедренного треугольника равны, то угол против основания равен 180°-(75°+75°)=30°

2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними

Вычислите площадь равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 75 градусов, а его боковая сторона 6см

Т. к.углы при основании в равнобедренном треугольнике равны и сумма углов в теугольнике равна 180, то угол, лежащий напротив основания, равен

Вычислите площадь равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 75 градусов, а его боковая сторона 6см

, где a и b стороны треугольника (в данном случае боковые), синус угла между этими сторонами

Прикладная механика растяжение сжатие решение задач.

основание прямой призмы — прямоугольный треугольник, катеты которого равны 5 см и 12 м, боковое ребро призмы равно 10 м. найдите площадь полной поверхности призмы

четырехугольной призмы. Найдите отношение объемов этих призм

Площадь треугольника абс равна 32 де средняя линия.

боковой стороной.
И ЕЩЁ ОДНА.
угол при основании равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) равен 15 градусов, а боковая сторона — 8. найдите расстояние от вершины С до прямой АВ.

{ Comments are closed }

Метод множителей Лагранжа. Пример решения

Решение. Найдем экстремум функции F(X) = 9•x1+x1 2 +6•x2+x2 2 , используя функцию Лагранжа:

Запишем систему в виде:

Таким образом, чтобы общие издержки производства были минимальны, необходимо производить x1 = 74.25; x2 = 75.75.

Задание. По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 50 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены 2-мя технологическими способами. При производстве x1 — изделий 1-ым способом затраты равны 3x1+x1 2 (т. руб.), а при изготовлении x2 — изделий 2-ым способом они составят 5x2+x2 2 (т. руб.). Определить сколько изделий каждым из способов необходимо изготовить, чтобы общие затраты на производство были минимальные.

Решение: составляем целевую функцию и ограничения:
F(X) = 3x1+x1 2 + 5x2+x2 2 → min
x1+x2 = 50

Сумма двух углов равнобедренного треугольника равна 60 градусов.

Метод множителей Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа является одним из методов, которые позволяют решать задачи нелинейного программирования.

Нелинейное программирование-это раздел математического программирования, изучающий методы решения экстремальных задач с нелинейной целевой функцией и областью допустимых решений, определенной нелинейными ограничениями. В экономике это соответствует тому, что результаты (эффективность) возрастают или убывают непропорционально изменению масштабов использования ресурсов (или, что то же самое, масштабов производства): напр., из-за деления издержек производства на предприятиях на переменные и условно-постоянные; из-за насыщения спроса на товары, когда каждую следующую единицу продать труднее, чем предыдущую и т. д.

Задача нелинейного программирования ставится как задача нахождения оптимума определенной целевой функции

при выполнении условий

где x — вектор искомых переменных;

g (x) — функция ограничений (непрерывно дифференцируемая);

b — вектор констант ограничений.

Решение задачи нелинейного программирования (глобальный максимум или минимум) может принадлежать либо границе, либо внутренней части допустимого множества.

В отличие от задачи линейного программирования, в задаче программирования нелинейного оптимум не обязательно лежит на границе области, определенной ограничениями. Иначе говоря, задача состоит в выборе таких неотрицательных значений переменных, подчиненных системе ограничений в форме неравенств, при которых достигается максимум (или минимум) данной функции. При этом не оговариваются формы ни целевой функции, ни неравенств. Могут быть разные случаи: целевая функция нелинейная, а ограничения линейны; целевая функция линейна, а ограничения (хотя бы одно из них) нелинейные; и целевая функция, и ограничения нелинейные.

Задача нелинейного программирования встречается в естественных науках, технике, экономике, математике, в сфере деловых отношений и в науке управления государством.

Нелинейное программирование, например, связано с основной экономической задачей. Так в задаче о распределении ограниченных ресурсов максимизируют либо эффективность, либо, если изучается потребитель, потребление при наличии ограничений, которые выражают условия недостатка ресурсов. В такой общей постановке математическая формулировка задачи может оказаться невозможной, но в конкретных применениях количественный вид всех функций может быть определен непосредственно. Например, промышленное предприятие производит изделия из пластмассы. Эффективность производства здесь оценивается прибылью, а ограничения интерпретируются как наличная рабочая сила, производственные площади, производительность оборудования и т. д.

Метод «затраты — эффективность» также укладывается в схему нелинейного программирования. Данный метод был разработан для использования при принятии решений в управлении государством. Общей функцией эффективности является благосостояние. Здесь возникают две задачи нелинейного программирования: первая — максимизация эффекта при ограниченных затратах, вторая — минимизация затрат при условии, чтобы эффект был выше некоторого минимального уровня. Обычно эта задача хорошо моделируется с помощью нелинейного программирования.

Результаты решения задачи нелинейного программирования являются подспорьем при принятии государственных решений. Полученное решение является, естественно, рекомендуемым, поэтому необходимо исследовать предположения и точность постановки задачи нелинейного программирования, прежде чем принять окончательное решение.

Нелинейные задачи сложны, часто их упрощают тем, что приводят к линейным. Для этого условно принимают, что на том или ином участке целевая функция возрастает или убывает пропорционально изменению независимых переменных. Такой подход называется методом кусочно-линейных приближений, он применим, однако, лишь к некоторым видам нелинейных задач.

Нелинейные задачи в определенных условиях решаются с помощью функции Лагранжа: найдя ее седловую точку, тем самым находят и решение задачи. Среди вычислительных алгоритмов Н. п. большое место занимают градиентные методы. Универсального же метода для нелинейных задач нет и, по-видимому, может не быть, поскольку они чрезвычайно разнообразны. Особенно трудно решаются многоэкстремальные задачи.

Одним из методов, которые позволяют свести задачу нелинейного программирования к решению системы уравнений, является метод неопределенных множителей Лагранжа.

С помощью метода множителей Лагранжа по существу устанавливаются необходимые условия, позволяющие идентифицировать точки оптимума в задачах оптимизации с ограничениями в виде ра­венств. При этом задача с ограничениями преобразуется в эквива­лентную задачу безусловной оптимизации, в которой фигурируют некоторые неизвестные параметры, называемые множителями Ла­гранжа.

Метод множителей Лагранжа заключается в сведении задач на условный экстремум к задачам на безусловный экстремум вспомогательной функции — т. н. функции Лагранжа.

Для задачи об экстремуме функции f (х1, x2. xn) при условиях (уравнениях связи) φi(x1, x2, . xn) = 0, i = 1, 2. m, функция Лагранжа имеет вид

Множители λ1, λ2, . λm наз. множителями Лагранжа.

Если величины x1, x2, . xn, λ1, λ2, . λm суть решения уравнений, определяющих стационарные точки функции Лагранжа, а именно, для дифференцируемых функций являются решениями системы уравнений

то при достаточно общих предположениях x1, x2, . xn доставляют экстремум функции f.

Рассмотрим задачу минимизации функции n переменных с учетом одного ограничения в виде равенства:

В соответствии с методом множителей Лагранжа эта задача преобразуется в следующую задачу безусловной оптимизации:

минимизировать L(x, λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

где Функция L(х;λ) называется функцией Лагранжа,

λ — неизвестная постоянная, которая носит название множителя Лагранжа. На знак λ никаких требований не накладывается.

Пусть при заданном значении λ=λ0 безусловный минимум функции L(x, λ) по х достигается в точке x=x0 и x0 удовлетворяет уравнению h1(x0)=0. Тогда, как нетрудно видеть, x0 минимизирует (1) с учетом (2), поскольку для всех значений х, удовлетворяющих (2), h1(x)=0 и L(x, λ)=min f(x).

Разумеется, необходимо подобрать значение λ=λ0 таким образом, чтобы координата точки безусловного минимума х0 удовлетворяла равенству (2). Это можно сделать, если, рассматривая λ как переменную, найти безусловный минимум функции (3) в виде функции λ, а затем выбрать значение λ, при котором выполняется равенство (2). Проиллюстрируем это на конкретном примере.

Соответствующая задача безусловной оптимизации записывается в следующем виде:

Решение. Приравняв две компоненты градиента L к нулю, получим

Для того чтобы проверить, соответствует ли стационарная точка х° минимуму, вычислим элементы матрицы Гессе функции L(х;u), рассматриваемой как функция х,

которая оказывается положительно определенной.

Это означает, что L(х, u) — выпуклая функция х. Следовательно, координаты x1 0 =λ, x2 0 =λ/2 определяют точку глобального минимума. Оптимальное значение λ находится путем подстановки значений x1 0 и x2 0 в уравнение2x1+x2=2, откуда 2λ+λ/2=2 или λ 0 =4/5. Таким образом, условный минимум достигается при x1 0 =4/5 и x2 0 =2/5 и равен min f(x)=4/5.

При решении задачи из примера мы рассматривали L(х;λ) как функцию двух переменных x1и x2и, кроме того, предполагали, что значение параметра λ выбрано так, чтобы выполнялось ограни­чение. Если же решение системы

в виде явных функций λ получить нельзя, то значения х и λ находятся путем решения следующей системы, состоящей из n+1 уравнений с n+1 неизвестными:

Для нахождения всех возможных решений данной системы можно использовать численные методы поиска (например, метод Ньютона). Для каждого из решений ( ) следует вычислить элементы матрицы Гессе функции L, рассматриваемой как функция х, и выяснить, является ли эта матрица положительно определенной (локальный минимум) или отрицательно определенной (локальный максимум).

Метод множителей Лагранжа можно распространить на случай, когда задача имеет несколько ограничений в виде равенств. Рассмотрим общую задачу, в которой требуется

при ограничениях hk =0, k=1, 2, . К.

Функция Лагранжа принимает следующий вид:

Здесь λ1, λ2, . λk — множители Лагранжа, т. е. неизвестные параметры, значения которых необходимо определить. Приравнивая частные производные L по х к нулю, получаем следующую систему n уравнении с n неизвестными:

Если найти решение приведенной выше системы в виде функций вектора λ оказывается затруднительным, то можно расширить систему путем включения в нее ограничений в виде равенств

Решение расширенной системы, состоящей из n+К уравнений с n+К неизвестными, определяет стационарную точку функции L. Затем реализуется процедура проверки на минимум или максимум, которая проводится на основе вычисления элементов матрицы Гессе функции L, рассматриваемой как функция х, подобно тому, как это было проделано в случае задачи с одним ограничением. Для некоторых задач расширенная система n+К уравнений с n+K неизвестными может не иметь решений, и метод множителей Лагранжа оказывается неприменимым. Следует, однако, отметить, что такие задачи на практике встречаются достаточно редко.

Рассмотрим частный случай общей задачи нелинейного программирования, предполагая, что система ограничений содержит только уравнения, отсутствуют условия неотрицательности переменных и и — функции непрерывные вместе со своими частными производными

Данную задачу называют задачей на условный экстремум или классической задачей оптимизации.

Чтобы найти решение этой задачи, вводят набор переменных называемых множителями Лагранжа, составляют функцию Лагранжа

находят частные производные и рассматривают систему n+m уравнений

с n+m неизвестными Всякое решение системы уравнений (7) определяет точку в которой может иметь место экстремум функции . Следовательно решив систему уравнений (7), получают все точки, в которых функция (6) может иметь экстремальные значения.

Метод множителей Лагранжа. Пример решения

Алгоритм метода множителей Лагранжа

1.Составляем функцию Лагранжа.

2.Находим частные производные от функции Лагранжа по переменным xJi и приравниваем их нулю.

3.Решаем систему уравнений (7), находим точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум.

4.Среди точек, подозрительных на экстремум, находим такие, в которых достигается экстремум, и вычисляем значения функции (6) в этих точках.

Исходные данные:По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производстве x1 изделий 1 способом затраты равны 4x1+x1 2 руб., а при изготовлении x2 изделий 2 способом они составляют 8x2+x2 2 руб. Определить сколько изделий каждым из способов следует изготовить, чтобы затраты на производство продукции были минимальными.

Целевая функция для поставленной задачи имеет вид
®min при условиях x1+x2=180, x2≥0.
1.Составляем функцию Лагранжа
.
2. Вычисляем частные производные по x1, x2, λ и приравниваем их нулю:

4.Сделав замену в целевой функции x2=180-x1 , получим функцию от одной переменной, а именно f1=4x1+x1 2 +8(180-x1)+(180-x1) 2

Метод множителей Лагранжа. Пример решения

Вычисляем или 4x1-364=0 ,

Ответ: Количество изделий изготовленных первым способом равно х1=91, вторым способом х2=89 при этом значение целевой функции равно 17278 руб.

Разработка урока решение текстовых задач с помощью уравнений.

Метод множителей Лагранжа. Пример решения

Многие явления, в том числе и экономические, зависят от многих факторов. Исследование таких зависимостей потребовало совершенствования математического аппарата. Максимизацию прибыли или минимизацию убытков не всегда можно свести только к расчету, так как зачастую нужно найти недостающие данные. Ища решение данной проблемы, Жозеф Луи Лагранж, крупнейший французский математик XVIII века, разрабатывает метод для вычисления оптимального распределения ресурсов, впоследствии названный методом множителей Лагранжа.

Тезисы – Математика
Просмотров: 26
Страниц: 5
Дата публикации: 2016-05-31

Lenka Shalimovets
РЕЙТИНГ РАБОТЫ

Enter the password to open this PDF file:

Метод Лагранжа и его применение для решения задач с экономическим содержанием Многие явления, в том числе и экономические, зависят от многих факторов. Исследование таких зависимостей потребовало совершенствования математического аппарата, а именно, введения понятия функции нескольких переменных, под которой подразумевается уравнение с независящими друг от друга переменными x и y . С развитием технического прогресса перед экономикой встал вопрос о том, как наиболее выгодно распределять производственные ресурсы. Максимизацию прибыли или минимизацию убытков не всегда можно свести только к расчету, так как зачастую нужно найти недостающие данные. Ища решение данной проблемы, Жозеф Луи Лагранж, крупнейший французский математик XVIII века, разрабатывает метод для вычисления оптимального распределения ресурсов, впоследствии названный методом множителей Лагранжа. Данный метод при решении задач оптимизации достаточно прост и удобен. Его недостатком является введение дополнительных переменных, которые, при помощи дополнительных уравнений, в свою очередь, должны быть исключены. Важно заметить, что, если при решении задачи используется метод Лагранжа, то экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию. Пусть функция z = f ( x, y ) , аргументы x и y — это аргументы, удовлетворяющие условию g ( x, y ) = C , называемому уравнением связи, тогда точка ( x0 , y 0 ) называется точкой условного максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек ( x, y ) из этой окрестности удовлетворяющих условию g ( x, y ) = C , выполняется неравенство f ( x 0 , y 0 ) ≥ f ( x, y ) f ( x 0 , y 0 ) ≤ f ( x, y ) Наиболее простой способ для нахождения условного экстремума функции двух переменных – это сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Таким образом, выразив y через x : y = ϕ( x ) и подставив полученное

выражение в функцию двух переменных, получим z = f ( x, y ) = f ( x, ϕ ( x ) ) , то есть функцию одной переменной. Но этот способ подходит лишь тогда, когда уравнение связи g ( x, y ) = C линейное и его легко решить относительно одной из переменных. Однако в более сложных случаях сделать это не удается. Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа. Функция Лагранжа — это функция трёх переменных L( x, y, λ ) = f ( x, y ) + λ[ g ( x, y ) − C ] где λ – множитель Лагранжа. Таким образом, для нахождения условного экстремума функции z = f ( x, y ) при условии g ( x, y ) = C требуется найти решение системы  Lx′ = f x′ ( x, y ) + λ g ′x ( x, y ) = 0 0 ϕ′ ( P0 ) x 1 ϕ′ ( P0 ) x 2 ∆( L) = − ϕ′1 ( P0 ) Lx′ x1 ( P0 λ0 ) ′ Lx′ x 2 ( P0 λ0 ) ′   L′y = f y′ ( x, y ) + λ g ′y ( x, y ) = 0 x 1 1 ϕ′2 ( P0 ) x L′′ x ( P0 λ0 ) x 1 2 Lx′ x 2 ( P0 λ0 ) ′ 2  ′  Lλ = g ( x, y ) − C = 0 Давайте рассмотрим решение задачи методом множителей Лагранжа. На развитие двух предприятий выделено 2 млн. рублей. Если первому предприятию дадут x1 млн. рублей, то прибыль, полученная от этого предприятия, будет равна 2 x1 млн. рублей, если x2 млн. дадут второму, то прибыль от него будет равна 3 x2 млн. рублей. Определить, как следует распределить средства между предприятиями, чтобы суммарная прибыль была максимальной. Решим эту задачу методом множителей Лагранжа. Задача состоит в отыскании точки глобального максимума функции f = 2 x1 + 3 x2 при ограничении x1 + x2 = 2 Точку возможного максимума найдем методом множителей Лагранжа. Функция Лагранжа имеет вид: L( x1 , x2 , λ) = 2 x1 + 3 x2 + λ( x1 + x2 − 2) Для отыскания точек возможных экстремумов составим систему:

 ′ 1  Lx1 = x + λ = 0  1  3 ′  Lx2 = +λ =0  2 x2  L′ = x + x − 2 = 0  λ 1 2  Найдем ее решение. Из уравнений (1) и (2) получаем 1 3 9 −λ = = ⇒ 2 x2 = 3 x1 ⇒ x2 = x1 x1 2 x2 4 9 Подставим найденное соотношение x2 = x1 в уравнение (3), получим 4 9 13 8 18 x1 + 4 x1 − 2 = 0 ⇒ x1 = 2 ⇒ x1 = 4 13 и тогда x2 = 13 . Находим λ : 1 13 λ =− =− x1 8 Итак, система имеет одно решение  8 18  13 P0  ; ; λ0 = − 13 13  8 Исследуем найденную точку на локальный условный экстремум с помощью определителя ∆ L) ( y ( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 − 2 y ′1 = 1; y ′ 2 = 1 x x 1 L ′1 = x +λ x1 1 13 13 L ′′2 = − ; L ′′ 2 ( P0 λ0 ) = − ⋅ x1 2 x1 3 x1 32 2 L ′′1 x2 = 0 x 3 ′ L x2 = +λ 2 x2 3 13 13 L ′′2 2 = − ; L ′′2 2 ( P0 λ0 ) = − ⋅ x 4 x2 3 x 72 2 Подставив все в формулу получаем

0 1 1  13 13  1 0 13 13   13 13 13 13   1 − ⋅ ∆ = −1⋅ 1 − ⋅ 32 2 0 = − − 1⋅ 13 13 + 1 ⋅ 1 − ⋅ 32 2  = −  72 ⋅ 2 + 32 ⋅ 2  〈 0    72 2 1 0    13 13   1 0 − ⋅ 72 2  8 18  Так как ∆ × Вы просматриваете облегчённый вариант работы — только текст.

Перпендикуляр опущенный из вершины тупого угла на большее основание трапеции.

{ Comments are closed }

Уважаемые друзья, помогите пожалуйста с заданием. Нужно составить выражения, для нахождения площади фигуры, изображенной на чертеже . Сделать нужно это несколькими способами . Помогите пожалуйста !!

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени с-16.

Уважаемые друзья, помогите пожалуйста с заданием. Нужно составить выражения, для нахождения площади фигуры, изображенной на чертеже . Сделать нужно это несколькими способами . Помогите пожалуйста !!

1) 6*9-2*(9-4-2)=54-6=48 2) 6*4+6*2+(9-4-2)*(6-2)=24+12+12=48 3) (6-2)*9+4*2+2*2=36+8+4=48

Найди площадь квадрата периметр которого равен 24 см.

Две фигуры называют равными, если одну их них можно так наложить на другую, что эти фигуры совпадут.

Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны.

Как найти диагональ параллелограмма зная стороны и площадь.

Для вычисления площади квадрата нужно умножить его длину на саму себя.

Уважаемые друзья, помогите пожалуйста с заданием. Нужно составить выражения, для нахождения площади фигуры, изображенной на чертеже . Сделать нужно это несколькими способами . Помогите пожалуйста !!

Формулу площади квадрата, зная определение степени, можно записать следующим образом:

В треугольнике авс медианы аа1 и сс1 пересекаются в точке м.

Для вычисления площади прямоугольника нужно умножить его длину на ширину.

Нельзя вычислять периметр или площадь, если длина и ширина выражены в разных единицах длины.

Обязательно проверяйте, чтобы и длина, и ширина были выражены в одинаковых единицах, то есть обе в см, м и т. д.

Как определить сторону треугольника если известны углы.

Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.

Задача: найти площадь огородного участка.

Так как фигура на рисунке не является ни квадратом, ни прямоугольником, рассчитать её площадь можно используя правило выше.

Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле.

SABCE = AB · BC
SEFKL = 10 · 3 = 30 м 2
SCDEF = FC · CD
SCDEF = 7 · 5 = 35 м 2

Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников.
S = SABCE + SEFKL
S = 30 + 35 = 65 м 2

Ответ: S = 65 м 2 — площадь огородного участка.

Свойство ниже может вам пригодиться при решении задач на площадь.

Диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных треугольника.

Уважаемые друзья, помогите пожалуйста с заданием. Нужно составить выражения, для нахождения площади фигуры, изображенной на чертеже . Сделать нужно это несколькими способами . Помогите пожалуйста !!

Площадь любого из этих треугольников равна половине площади прямоугольника.

АС — диагональ прямоугольника ABCD . Найдём площадь треугольников ABC и ACD

Вначале найдём площадь прямоугольника по формуле.

SABCD = AB · BC
SABCD = 5 · 4 = 20 см 2

Сумма соответственных углов образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Ответ оставил Гость

Площадь квадрата а•а Площадь прямоугольника а•b Площадь треугольника

Если тебя не устраивает ответ или его нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету Математика.

{ Comments are closed }