Browsing: Геометрия 7-9 класс

Методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему: . План — конспект урока алгебры в 8 классе «Решение неравенств с одной переменной»

Виды треугольников по углам 3 класс конспект урока.

Урок изучения нового материала. Вводятся основные понятия, свойства, алгоритм решения неравенств с одной переменной; осуществляется первичное закрепление материала. Стихи и высказывания великих мыслителей помогают эмоциональноиу настрою детей на работу на уроке. К уроку прилагаются: справочный материал, проверочный тест, учебная презентация.

Знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Самосдельская средняя общеобразовательная школа

имени Шитова В. А.»

с одной переменной»

Яковлева Любовь Викторовна

2011 – 2012 учебный год

Тема урока: Решение неравенств с одной переменной.

Цели урока: ввести понятия «решение неравенства», «равносильные неравенства»;

познакомить со свойствами равносильности неравенств;

рассмотреть решение линейных неравенств вида ах > b, ax и , чтобы неравенство было верным:

а) -5а □ — 5b; б) 5а □ 5b; в) a – 4 □ b – 4; г) b + 3 □ a +3.

● Принадлежит ли отрезку [- 7; — 4] число: — 10; — 6,5; — 4; — 3,1?

● Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку:

а) x ≥ 7 Ответ: (- ∞; 7); б) y , употребляемые и поныне .

Символы ≤ и ≥ были введены в 1734 году французским математиком Пьером Буге́ром .

Скажите мне, какая математика без них?

О тайне всех неравенств, вот о чём мой стих.

Неравенства такая штука – без правил не решить!

Я тайну всех неравенств попробую открыть.

● Итак, чтобы научиться решать неравенства выясним сначала: что является решением неравенства, и какие свойства используются при его решении.

● Рассмотрим неравенство 5х – 11 > 3. При одних значениях переменной х оно обращается в верное числовое неравенство, а при других нет. Например, при х = 4, получается верное числовое неравенство 54 – 11 > 3; 9 > 3, при х = 2 получится неравенство 52 – 11 > 3, -1 > 3, которое не является верным. Говорят, что число 4 является решением неравенства 5х – 11 > 3. Решениями этого неравенства являются и числа 28; 100; 180 и т. д. Таким образом:

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

● Является ли число 2; 0,2 решением неравенства: а) 2х – 1 3?

● Только ли числа 2 и 0,2 являются решением неравенства 2х – 1 0 и равносильны, так как решением каждого из них являются числа, большие 3, т. е. х > 3. Неравенства х 2 + 4 ≤ 0 и |х| + 3 8 неравносильны, так как решение первого неравенства х ≥ 2, а решение второго х > 4.

● Между решением неравенства и решением уравнения много общего – неравенства тоже нужно с помощью преобразований сводить к более простым. Важное отличие состоит в том, что множество решений неравенства, как правило, бесконечно. Сделать полную проверку ответа, как мы это делали с уравнениями, в этом случае нельзя. Поэтому, решая неравенство, нужно обязательно переходить к равносильному неравенству – имеющему в точности то же множество решений. Для этого опираясь на основные свойства неравенств, надо проделывать лишь такие преобразования, которые сохраняют знак неравенства и обратимы.

При решении неравенств используются следующие свойства: Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным

то получится равносильное ему неравенство. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное

число, то получится равносильное ему неравенство;

если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное

число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится

равносильное ему неравенство.

● Как говорил римский баснописец первой половины I в. н. э. Федр: «На примерах учимся»

● Рассмотрим и мы на примерах использование свойств равносильности при решении неравенств.

Пример 1. Решим неравенство 3(2х – 1) > 2(х + 2) + х + 5.

Раскроем скобки: 6х – 3 > 2х + 4 + х + 5.

Приведём подобные слагаемые: 6х – 3 > 3х + 9.

Сгруппируем в левой части слагаемые с переменной, а

в правой — без переменной: 6х – 3х > 9 + 3.

Приведём подобные слагаемые: 3х > 12.

Разделим обе части неравенства на положительное число 3,

сохраняя при этом знак неравенства: х > 4.

Пример 2. Решим неравенство > 2.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель — > 2 6

дробей, входящих в неравенство, т. е. на положительное число 6: 2х – 3х > 12.

Приведём подобные слагаемые: — х > 12.

Разделим обе части на отрицательное число – 1, изменив знак

неравенства на противоположный: х b или ах 12, — х > 12. Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной.

● В приведённых примерах коэффициент при переменной не равен нулю. Рассмотрим на конкретных примерах решения неравенств ах > b или ах b , а значит и соответствующее ему исходное неравенство, либо не имеет решений, либо его решением является любое число.

● При решении неравенств мы придерживались определённого порядка, который является алгоритмом решения неравенств с одной переменной

Алгоритм решения неравенств первой степени с одной переменной.

  1. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
  2. Сгруппировать слагаемые с переменной в левой части неравенства, а без переменной – в

правой части, при переносе меняя знаки.

  1. Привести подобные слагаемые.
  2. Разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной, если он не равен нулю.
  3. Изобразить множество решений неравенства на координатной прямой.
  4. Записать ответ в виде числового промежутка.

Неравенства такая штука – без правил не решить

Я тайну всех неравенств попробую открыть.

Три главных правила учи

Тогда найдешь ты к ним ключи,

Тогда сумеешь их решить.

Не будешь думать и гадать

Куда перенести и что в нем поменять.

И будешь знать наверняка,

Что знак изменится, когда неравенств обе части

Делить на с минусом число.

Но будет оно верным всё равно.

Решение покажешь на прямой.

Ответ запишешь в виде промежутка.

● Я думаю, это стихотворение поможет вам запомнить, как решать неравенства.

5. Закрепление изученного материала. ( Формирование умений и навыков)

● По словам великого немецкого поэта и мыслителя Гёте «Недостаточно только получить знания; надо найти им приложение. Недостаточно только желать; надо делать».

● Последуем эти словам и начнём учиться применять полученные сегодня знания при выполнении упражнений.

● Вы обратили, наверное, уже внимание на то, что алгоритм решения неравенств с одной переменной сходен с алгоритмом решения уравнений. Единственная сложность – деление обеих частей неравенства на отрицательное число. Главное здесь не забыть поменять знак неравенства.

1) – 2х 6; 3) – 2х ≤ 6;

4) – х — 5; 5) 0 • х ≤ 0; 6) 0 • x > 0.

● Выполните упражнения: № 836(а, б, в); № 840(д, е, ж, з); № 844(а, д).

● При выполнении упражнений вы можете пользоваться справочным материалом , который есть на каждом столе.

6.Подведение итогов урока.

● «Как приятно, что ты что – то узнал», — сказал когда — то французский комедиограф

● Что нового мы узнали на уроке?

● Помог ли урок продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету?

Оценка результатов урока учителем: Оценка работы класса (активность, адекватность ответов, неординарность работы отдельных детей, уровень самоорганизации, прилежание).

7. Домашнее задание.

● Изучить п. 34(выучить определения, свойства и алгоритм решения).

● Выполнить № 835; №836(д – м); № 841.

● Благодарю за урок! Удачи вам всем!

9. Информационные источники.

  1. Алгебра. 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений./ [Ю. Н. Макарычев,

Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского – М.: Просвещение, 2011.

  1. Алгебра. Дидактические материалы. 8 класс/ В. И. Жохов, Ю. Н. Макарычкв, Н. Г. Миндюк. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Алгебра. 8 класс. Тематические тесты. Промежуточная аттестация./ Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион – М, 2011.
  3. Рурукин А. Н. Поурочные разработки по алгебре: 8 класс. – М.: ВАКО, 2010.
  4. Разноуровневые дидактические материалы по алгебре. 8 класс. / М. Б. Миндюк, Н. Г. Миндюк – М.: Издательский Дом «Генжер», 1996.
  5. Тематический контроль по алгебре. 8 класс. Вариант 1, 2 (тетрадь)./ Миндюк М. Б., Миндюк Н. Г. – М.: Интеллект – Центр, 2001.
  6. Ревякин А. М. Алгебра. 8 класс. Экспериментальное учебное пособие. – НПО «Школа» — Издательство «Открытый мир», 1997.

Решение задач по алгебре и началам анализа учебник.

На этом уроке вы узнаете, что такое неравенства с одной переменной, научитесь решать линейные неравенства с одной переменной, а также сможете применить полученные знания на практике.

Распределите неравенства на две группы: числовые неравенства и неравенства с переменной.

Как рассчитать сколько плитки нужно на ванную по площади.

Успейте воспользоваться скидками до 60% на курсы «Инфоурок»

с одной переменной»

Серебрякова Ирина Дмитриевна

Тема урока: Решение неравенств с одной переменной.

Цели урока: ввести понятия «решение неравенства», «равносильные неравенства»;

познакомить со свойствами равносильности неравенств;

рассмотреть решение линейных неравенств вида ах > b, ax и , чтобы неравенство было верным:

а) -5а □ — 5b; б) 5а □ 5b; в) a – 4 □ b – 4; г) b + 3 □ a +3.

● Принадлежит ли отрезку [- 7; — 4] число: — 10; — 6,5; — 4; — 3,1?

● Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку:

а) x ≥ 7 Ответ: (- ∞; 7); б) y , употребляемые и поныне .

Символы  и ≥ были введены в 1734 году французским математиком Пьером Буге́ром .

Скажите мне, какая математика без них?

О тайне всех неравенств, вот о чём мой стих.

Неравенства такая штука – без правил не решить!

Я тайну всех неравенств попробую открыть.

● Итак, чтобы научиться решать неравенства выясним сначала: что является решением неравенства, и какие свойства используются при его решении.

● Рассмотрим неравенство 5х – 11 > 3. При одних значениях переменной х оно обращается в верное числовое неравенство, а при других нет. Например, при х = 4, получается верное числовое неравенство 5 4 – 11 > 3; 9 > 3, при х = 2 получится неравенство 5 2 – 11 > 3, -1 > 3, которое не является верным. Говорят, что число 4 является решением неравенства 5х – 11 > 3. Решениями этого неравенства являются и числа 28; 100; 180 и т. д. Таким образом:

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

● Является ли число 2; 0,2 решением неравенства: а) 2х – 1 3?

● Только ли числа 2 и 0,2 являются решением неравенства 2х – 1 0 и равносильны, так как решением каждого из них являются числа, большие 3, т. е. х > 3. Неравенства х 2 + 4 ≤ 0 и |х| + 3 8 неравносильны, так как решение первого неравенства х ≥ 2, а решение второго х > 4.

● Между решением неравенства и решением уравнения много общего – неравенства тоже нужно с помощью преобразований сводить к более простым. Важное отличие состоит в том, что множество решений неравенства, как правило, бесконечно. Сделать полную проверку ответа, как мы это делали с уравнениями, в этом случае нельзя. Поэтому, решая неравенство, нужно обязательно переходить к равносильному неравенству – имеющему в точности то же множество решений. Для этого опираясь на основные свойства неравенств, надо проделывать лишь такие преобразования, которые сохраняют знак неравенства и обратимы.

Методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему: . План - конспект урока алгебры в 8 классе

При решении неравенств используются следующие свойства:

Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным

о получится равносильное ему неравенство.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное

число, то получится равносильное ему неравенство;

если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное

число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится

равносильное ему неравенство.

● Как говорил римский баснописец первой половины I в. н. э. Федр: «На примерах учимся»

● Рассмотрим и мы на примерах использование свойств равносильности при решении неравенств.

Пример 1. Решим неравенство 3(2х – 1) > 2(х + 2) + х + 5.

Раскроем скобки: 6х – 3 > 2х + 4 + х + 5.

Приведём подобные слагаемые: 6х – 3 > 3х + 9.

Сгруппируем в левой части слагаемые с переменной, а

в правой — без переменной: 6х – 3х > 9 + 3.

Приведём подобные слагаемые: 3х > 12.

Разделим обе части неравенства на положительное число 3,

сохраняя при этом знак неравенства: х > 4.

Пример 2. Решим неравенство > 2.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель — > 2 6

дробей, входящих в неравенство, т. е. на положительное число 6: 2х – 3х > 12.

Приведём подобные слагаемые: — х > 12.

Разделим обе части на отрицательное число – 1, изменив знак

неравенства на противоположный: х b или ах 12, — х > 12. Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной.

● В приведённых примерах коэффициент при переменной не равен нулю. Рассмотрим на конкретных примерах решения неравенств ах > b или ах b , а значит и соответствующее ему исходное неравенство, либо не имеет решений, либо его решением является любое число.

● При решении неравенств мы придерживались определённого порядка, который является алгоритмом решения неравенств с одной переменной

Алгоритм решения неравенств первой степени с одной переменной.

Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Сгруппировать слагаемые с переменной в левой части неравенства, а без переменной – в

правой части, при переносе меняя знаки.

Привести подобные слагаемые.

Разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной, если он не равен нулю.

Изобразить множество решений неравенства на координатной прямой.

Записать ответ в виде числового промежутка.

Неравенства такая штука – без правил не решить

Я тайну всех неравенств попробую открыть.

Три главных правила учи

Тогда найдешь ты к ним ключи,

Тогда сумеешь их решить.

Не будешь думать и гадать

Куда перенести и что в нем поменять.

И будешь знать наверняка,

Что знак изменится, когда неравенств обе части

Делить на с минусом число.

Но будет оно верным всё равно.

Решение покажешь на прямой.

Ответ запишешь в виде промежутка.

● Я думаю, это стихотворение поможет вам запомнить, как решать неравенства.

5. Закрепление изученного материала. ( Формирование умений и навыков)

● По словам великого немецкого поэта и мыслителя Гёте «Недостаточно только получить знания; надо найти им приложение. Недостаточно только желать; надо делать».

● Последуем эти словам и начнём учиться применять полученные сегодня знания при выполнении упражнений.

● Вы обратили, наверное, уже внимание на то, что алгоритм решения неравенств с одной переменной сходен с алгоритмом решения уравнений. Единственная сложность – деление обеих частей неравенства на отрицательное число. Главное здесь не забыть поменять знак неравенства.

Методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему: . План - конспект урока алгебры в 8 классе

1) – 2х 6; 3) – 2х ≤ 6;

4) – х — 5; 5) 0 • х ≤ 0; 6) 0 • x > 0.

● Выполните упражнения: № 836(а, б, в); № 840(д, е, ж, з); № 844(а, д).

● При выполнении упражнений вы можете пользоваться справочным материалом , который есть на каждом столе.

6.Подведение итогов урока.

«Как приятно, что ты что – то узнал», — сказал когда — то французский комедиограф

● Что нового мы узнали на уроке?

● Помог ли урок продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету?

Оценка результатов урока учителем: Оценка работы класса (активность, адекватность ответов, неординарность работы отдельных детей, уровень самоорганизации, прилежание).

7. Домашнее задание.

● Изучить п. 34(выучить определения, свойства и алгоритм решения).

● Выполнить № 835; №836(д – м); № 841.

● Благодарю за урок! Удачи вам всем!

9. Информационные источники.

Алгебра. 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений./ [Ю. Н. Макарычев,

Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского – М.: Просвещение, 2011.

Алгебра. Дидактические материалы. 8 класс/ В. И. Жохов, Ю. Н. Макарычкв, Н. Г. Миндюк. – М.: Просвещение, 2010.

Алгебра. 8 класс. Тематические тесты. Промежуточная аттестация./ Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион – М, 2011.

Рурукин А. Н. Поурочные разработки по алгебре: 8 класс. – М.: ВАКО, 2010.

Разноуровневые дидактические материалы по алгебре. 8 класс. / М. Б. Миндюк, Н. Г. Миндюк – М.: Издательский Дом «Генжер», 1996.

Тематический контроль по алгебре. 8 класс. Вариант 1, 2 (тетрадь)./ Миндюк М. Б., Миндюк Н. Г. – М.: Интеллект – Центр, 2001.

Ревякин А. М. Алгебра. 8 класс. Экспериментальное учебное пособие. – НПО «Школа» — Издательство «Открытый мир», 1997.

{ Comments are closed }

Катеты прямоугольного треугольника равны 27 и корень 295. найдите гипотенузу

Ответ: гипотенуза 32 см

27*.27+295=1024=32 квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Доказательство равенства медиан в равных треугольниках.

7. На отрезке AB длиной 28 см взята точка K. Найдите длины отрезков AK и BK, если AK меньше BK в 6 раз.

1) сумма углов любого треуг. Равна 360 градусам
2)серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности
3)треуг со сторонами 1, 2 , 4 не существует

Задачи по генетике анализирующее скрещивание с решением.

найдите плошать Треугольника.

№2 Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Найдите гипотенузу и площадь треугольника.

Катеты прямоугольного треугольника равны 27 и корень 295. найдите гипотенузу

№3 Найдите Плошадь и переметр ромба, если его диагонали равны 8 и 10 см.

№4 Смежные стороны Параллелограма равны 52 см и А острый угол равен 30градусов. Найдите площадь ромба.

№5 Вычислите площадь трапеции АВСД с основанием АД и ВС, если АД=24см, ВС=16см, угол А =45градусов, угол Д равен 90градусов

2)Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 10 см, а синус одного из острых углов равен 0,6.
3)Найдите площадь прямоугольного треугольника. Если высота, опущенная на гипотенузу, равно 12, а один из катетов равен 15
4) длина одного из катет прямоугольного треугольника на 8 см меньше гипотенузы, а гипотенуза больше другого катета на 1 см. Найдите площадь треугольника

Математические задачи по логистике с решениями.

Катеты прямоугольного треугольника равны 27 и корень 295. Найдите гипотенузу

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

AnnaDubrovskay 24.02.2013

Решение системы линейных уравнений методом крамера паскаль.

По теореме Пифагора получаем, что квадрат гипотенузы равен 27^2 + 295 = 1024.

Соответственно, гипотенуза равна корню квадратному из 1024, т. е. 32.

Найти сопротивление цепи по рисунку решение задач.

Катеты прямоугольного треугольника равны 27 и корень из 295 найдите гипотенузу

Математика

  • Ответов: 1
  • Просмотров: 74

Прежде чем представить заданное выражение в виде разности квадратов, а затем

Задача 1
Дано:
m (С6Н12О6) = 1 г

Задание 1
1. Кислоты: HNO3, H3PO4.
2. Кислотные оксиды: SO3, CO2.

MnSO4 + K2SO4 + H2O;
MnO4(-) + SO3(2-) + 2H(+) =>

а) СаО + H2O => Са(ОН)2;
Са(ОН)2 + CO2 => СаСО3 ↓ + H2O;
СаСО3 + CO2 +

Дано:
m (NH3) = 42,5 кг = 42500 г
m (HNO3) = 165 кг = 165000 г

Катеты прямоугольного треугольника равны 27 и корень 295. найдите гипотенузу

1. При пропускании углекислого газа через раствор гидроксида кальция протекае

Для того, чтобы упростить выражение мы должны открыть скобки, а затем сгруппи

Дано:
m (Cr2O3) = 19 г
ω вых. = 90%

Найти:
m практ. (Cr) — ? K2SO4 + CO2 ↑ + H2O;
K2SO4 + Ba(OH)2 => BaSO4 ↓ + 2KOH

Уравнение реакции верное. Во-первых, при взаимодействии щелочи, а KOH — это ще

Как найти сторону прямоугольника если известна площадь и вторая сторона.

{ Comments are closed }

График производной функции

Система взаимосвязанных уравнений включает в себя следующие переменные.

С помощью графика производной функции можно определить точки экстремума и промежутки монотонности функции Для этого достаточно помнить, что:

  1. функция возрастает на промежутках, где производная 0 ;» title=»Rendered by QuickLaTeX. com» height=»19″ width=»114″ style=»vertical-align: -4px;»/>
  2. функция убывает на промежутках, где производная
  3. функция имеет критические точки, где производная или не существует.

Замечание. Это верно только для внутренних точек области определения, точки на концах области определения не рассматриваются.

  • функция имеет точки экстремума там, где производная меняет свой знак. В частности, функция имеет точки максимума там, где производная меняет знак с плюса на минус; и точки минимума – там, где производная меняет знак с минуса на плюс.
  • Вычислить площадь фигуры ограниченную линиями y x.

    Функция убывает на промежутке так как на этом интервале производная отрицательна (ее график расположен ниже оси ).

    Критические точки функции – это точки В этих точках производная обращается в нуль (график производной пересекает ось ). При этом точка является точкой максимума функции , поскольку производная в этой точке меняет знак с плюса на минус (график производной пересекает абсцисс в направлении сверху вниз). Точка – точка минимума функции так как производная в этой точке меняет знак с минуса на плюс (график производной пересекает в направлении снизу вверх).

    То есть точками экстремума являются точки В них производная не только обращается в нуль, но и меняет свой знак. Точка – критическая точка, не являющаяся точкой экстремума, поскольку производная не сменила знак.

    Замечание. Таким образом, точками экстремума на графике производной являются те точки, в которых график не касается, а пересекает ось абсцисс.

    По графику производной можно не только исследовать поведение функции , но и попытаться схематически построить ее график. Поскольку для одной функции первообразных существует бесконечное множество, график функции по графику производной можно построить лишь схематично: точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции можно определить можно, а нули функции и экстремумы – нет.

    Так как в точках и производная меняет знак с «–» на «+», то эти точки являются точками минимума функции . В точке производная меняет знак с «+» на «–», поэтому эта точка – точка максимума.

    На промежутках и производная (график функции лежит ниже оси абсцисс), следовательно, функция на этих промежутках убывает. На промежутках и производная 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX. com» height=»19″ width=»75″ style=»vertical-align: -4px;»/> (график функции лежит выше оси ), поэтому для функции они являются промежутками возрастания.

    Сказать что-то более определенное о нулях и других значениях функции не получится.

    Строим эскиз графика функции (рис. 3). Это один из множества графиков первообразных для функции Другие могут быть получены из него параллельным переносом вдоль оси

    Решения скачать сборник задач по теоретической механике.

    Знание — сила. Познавательная информация

    Задачи на нахождение площади сечения с решением.

    По графику производной y= f ‘ (x) можно не только исследовать поведение функции y=f(x) , но и попытаться построить ее график.

    Поскольку для одной функции первообразных существует бесконечное множество, график функции по графику производной можно построить лишь схематично: точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции определить можно, а нули функции и экстремумы — нет.

    Дан график производной: y= f ‘ (x):

    Построить график функции y=f(x).

    Точки x=x2, x=x3, x=x4, в которых производная y= f ‘ (x) обращается в нуль — это точки экстремума функции y=f(x).

    В точках x=x2 и x=x4 производная меняет знак с «-«на «+», поэтому x2 и x=x4 — точки минимума функции y=f(x).

    В точке x=x3 производная меняет знак с «+» на «-«, поэтому x=x3 — точка максимума функции.

    На промежутках [x1;x2] и [x3;x4] f ‘ (x) 0, поэтому для y=f(x) они являются промежутками возрастания.

    Сказать что-то более определенное о нулях и других значениях функции y=f(x) не получится. Данный эскиз графика y=f(x) — один из множества графиков первообразных для функции y= f ‘ (x). Другие могут быть получены из него параллельным переносом вдоль оси oy.

    Если график производной y= f ‘ (x) представляет собой прямую, параллельную оси ox (y=b, где b — число),, то функция y=f(x) — линейная. Она является возрастающей, если b>0, убывающей, если b<0, и постоянной, если b=0.

    Найдите значение выражений применив свойства умножения.

    Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник периметр которого равен 24.

    Построим (исследуем) график функции y=f(x), для этого задайте функцию f(x)

    Важно: a должно быть меньше b, иначе график не сможет построиться. Cледите за масштабом — если графика на рисунке нету, значит стоит поварьировать значения a и b

    С применением степени
    (квадрат и куб) и дроби

    С применением синуса и косинуса

    График производной функции

    Гиберболические синус и косинус

    Гиберболические тангенс и котангенс

    Гиберболические арксинус и арккосинус

    Гиберболические арктангенс и арккотангенс

    Органическая химия 10 класс решение уравнения реакции.

    Для периодических функций идет исследование графика функции только на промежутке периода

    График производной функции

    Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции

    Что умеет находить этот калькулятор:

    • Область определения функции: Да. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль, но в остальных случаях:
    • Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат: Да
    • Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции: Да
    • Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости): Да
    • Вертикальные асимптоты : Да (это завязано с областью определения функции, на точки, где знаменатель функции обращается в нуль)
    • Горизонтальные асимптоты графика функции: Да
    • Наклонные асимптоты графика функции: Да
    • Четность и нечетность функции: Да

    Правила ввода выражений и функций

    Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

    absolute(x) Абсолютное значение x
    (модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
    (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) pi Число — «Пи», которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

    В выражениях можно применять следующие операции:

    Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание

    { Comments are closed }

    Задача 10871 Найдите наименьшее значение функции

    Котангенс внешнего угла равен тангенсу внутреннего.

    Найдите наименьшее значение функции y=e^(2x)-5e^x-2 на отрезке [-2; 1].

    y=e^(2x)-5e^x-2
    y’=2e^(2x)-5e^x
    2e^(2x)-5e^x=0
    Замена e^x=t, t > 0
    2t^2-5t=0
    t(2t-5)
    t=0, не удовл. ОДЗ
    2t-5=0
    t=5/2

    В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1 найдите угол ac1c.

    Задание.

    Найдите наименьшее значение функции f(x) = e 2 x – 4e x + 7 на отрезке [-1; 1].

    Решение:

    Область определения функции: все числа

    Найдем точки экстремума, для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

    f ´ (x) = 2e 2x – 4e x

    Задача 10871 Найдите наименьшее значение функции

    Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, а другой при этом не теряет смысла, т. е.

    e x > 0, e x – 2 = 0

    Найдем значение функции в точке x = ln2 и на границах отрезка [-1; 1].

    f(-1) = e -2 – 4e -1 + 7

    f(ln2) = e 2ln2 – 4e ln2 + 7 = 4 – 8 + 7 = 3

    Задача 10871 Найдите наименьшее значение функции

    Значит, наименьшее значение функции равно 3

    Сколько решений имеет система уравнений 2x 3y 7 4x 6y 14.

    Задача 10871 Найдите наименьшее значение функции

    Найдите наименьшее значение функции y= e^2x — 5e^x -2 на отрезке [-2;1]

    Ответ оставил Гость

    у = е ^2*0 — 5е ^0 — 2 = 1-5-2 = -6.

    Если тебя не устраивает ответ или его нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету Алгебра.

    { Comments are closed }

    Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=4-x^2 и y=0

    Формула для треугольной призмы площади основания.

    Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=4-x^2 и y=0

    Математика

    • Ответов: 1
    • Просмотров: 46

    Прежде чем представить заданное выражение в виде разности квадратов, а затем

    Задача 1
    Дано:
    m (С6Н12О6) = 1 г

    Задание 1
    1. Кислоты: HNO3, H3PO4.
    2. Кислотные оксиды: SO3, CO2.

    Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=4-x^2 и y=0

    MnSO4 + K2SO4 + H2O;
    MnO4(-) + SO3(2-) + 2H(+) =>

    а) СаО + H2O => Са(ОН)2;
    Са(ОН)2 + CO2 => СаСО3 ↓ + H2O;
    СаСО3 + CO2 +

    Дано:
    m (NH3) = 42,5 кг = 42500 г
    m (HNO3) = 165 кг = 165000 г

    1. При пропускании углекислого газа через раствор гидроксида кальция протекае

    Для того, чтобы упростить выражение мы должны открыть скобки, а затем сгруппи

    Дано:
    m (Cr2O3) = 19 г
    ω вых. = 90%

    Найти:
    m практ. (Cr) — ? K2SO4 + CO2 ↑ + H2O;
    K2SO4 + Ba(OH)2 => BaSO4 ↓ + 2KOH

    Уравнение реакции верное. Во-первых, при взаимодействии щелочи, а KOH — это ще

    Как найти решение исходной задачи из двойственной.

    Предлагаем Вашему вниманию калькулятор для нахождения площади фигуры ограниченной кривыми линиями. Калькулятор в автоматическом режиме составляет интеграл, находит границы интегрирования, а также рисует саму фигуру на координатной плоскости. Как частный случай, калькулятор находит площадь криволинейной трапеции.

    Пример. Найти площадь криволинейной трапеции ограниченной кривой y=2x^2+1 и прямыми x=1,x=2.

    II. Как найти площадь фигуры ограниченной линиями
    Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x) [f1(x) ≤ f2(x)] и прямыми x=a, x=b вычисляется по формуле y=f1(x) и y=f2(x) [f1(x) ≤ f2(x)] и прямыми x=a, x=b вычисляется по формуле

    Пример. Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=4x-x^2, y=4-x

    Если прямые параллельны то накрест лежащие углы равны доказательство теоремы.

    Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=9-x^2, y=0.

    Ответ оставил Гость

    Найдем точки пересечения графика функции у=9-x^2 с осью ОХ, 9-х²=0, х=±3. Так как это парабола и она симметрична относительно начала координат, то достаточна найти интеграл (9-x^2) пределы интегрирования от 0 до 3, и полученный ответ умножить на 2. ₀³∫(9-х²)dх=9х-х³/3, подставим пределы интегрирования, сначала 3 потом 0, получим (9*3-3³/3)-(9*0-0³/3)=3. Тогда площадь фигуры равна 3*2=6 кв. ед.

    Если тебя не устраивает ответ или его нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету Геометрия.

    { Comments are closed }

    Разработка урока алгебры в 8-м классе по теме «Решение уравнений методом замены переменной»

    Решить систему уравнений методом подстановки 10 класс.

    Разделы: Математика

    Класс: 8.

    Программа: для общеобразовательных учреждений, п/р А. Г. Мордковича.

    Учебник: Алгебра 8, автор А. Г. Мордкович.

    Тип урока: ознакомление с новым материалом.

    Цели урока: сформировать умение решать уравнения, приводимые к квадратным, путем введения новой переменной, повторить способы решения неполных квадратных уравнений, формулы сокращенного умножения

    Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация к уроку, индивидуальные доски, маркеры по доске.

    Раздаточный материал: карточки с заданием для самостоятельной работы.

    Ход урока

    1. Оргмомент.

    2. Сообщение темы урока и целей урока.

    — Мы должны сегодня изучить новый метод решения уравнений. Он широко применяется при решении многих типов уравнений, которые мы будем изучать в старших классах. А сегодня мы рассмотрим, как применить его при решении уравнений, которые можно свести к квадратным. Что это за способ, вы узнаете немного позже, а сейчас проверим домашнее задание.

    3. Проверка домашнего задания: (Приложение 1)

    4. Подготовка к изучению нового материала (работа устно).

    У каждого учащегося есть индивидуальная маркерная доска, на которой он пишет ответ на задание, появляющееся на экране.

    — А сейчас вспомним то, что вы изучали раньше. (Приложение 1)

    Брошены две игральные кости найдите вероятность того сумма выпавших.

    Рассмотрим ряд сложных рациональных уравнений, которые сводятся к решению простейших уравнений при помощи метода замены переменной.

    Замечаем, что уравнение можно переписать следующим образом:

    Напрашивается замена :

    Тогда обратная замена :

    Можно было бы оформить решение и так, чуть короче:

    Перепишем уравнение следующим образом:

    Тогда напрашивается замена :

    Обратная замена:

    Перепишем уравнение следующим образом:

    Имеем квадратное уравнение относительно (Не будем делать замену переменной (см. второй вариант оформления задачи 1)).

    Первое уравнение не имеет корней.

    Замена переменной: , тогда

    Домножаем обе части равенства на

    Обратная замена :

    Первое уравнение совокупности не имеет решений. Решаем второе уравнение:

    Замена :

    Обратная замена :

    Разделим обе части уравнения на (заметим, ):

    Напрашивается замена :

    Обратная замена :

    Данная совокупность равносильна следующему уравнению (только второе уравнение имеет корни):

    Перемножим первую скобку и последнюю, вторую и третью:

    Напрашивается замена :

    Обратная замена :

    Совокупность равносильна уравнению:

    Заметим, не является корнем уравнения, поэтому разделим числитель и знаменатель каждой дроби из левой части уравнения на :

    Замена :

    Домножаем обе части уравнения на

    Обратная замена :

    Совокупность равносильна уравнению:

    Перепишем уравнение следующим образом:

    Замечаем, что первые четыре слагаемые можно свернуть в куб разности:

    Прибавим к обеим частям равенства

    Тогда левую часть уравнения можно свернуть в квадрат разности:

    Замена :

    Обратная замена :

    Замена :

    Обратная замена :

    Замена :

    Обратная замена :

    Предлагаю задания для самостоятельной работы:

    1.

    2.

    3.

    4.

    5.

    6.

    7.

    8.

    9.

    10.

    11.

    Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

    Спасибо, очень хороший материал.

    Здравствуйте! Я решал 6-ой номер, и у меня получилось после вынесения x, сокращения и замены x + 60/x на t такое уравнение 4t^2 + 132t + 1085 = 0. Корни: 31/4 и 35/4. После подстановки в x + 60/x = t получается квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом в обоих случаях.

    Подскажите, это я ошибаюсь или в самом уравнении ошибка?

    Семен, у вас ошибочны корни уравнения (само уравнение верное). Корни должны быть и

    Да, точно! Я идею решения понимаю сразу, а вот из-за таких глупых ошибок решаю долго… Спасибо, Вам!

    Здравствуйте!
    В примере номер три похоже закралась опечатка: должно быть квадратное уравнение x^2+2,5x+1=0. А дальше правильно.

    ПОДСКАЖИТЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 4 ДЛЯ САМ РАБОТЫ

    Раскройте скобки, увидите тогда что обозначать за новую переменную.

    подскажите решение номера 4 для сам. работы

    Да подсказала уже))

    Напишите решение первого, пожалуйста

    Принимайте за , сделайте замену…
    Начните…

    В 3 задаче буквально на последней строчке ошибка. Ответ -1 и -4.
    Сижу я тут и удивляюсь таким простым решениям. Вы действительно видите, где можно что-то подправить, чтобы все красиво решить заменой? Я вот никак такого не замечаю :с

    А я не увидела ошибки в 3-м примере… :о
    Я благодарна вам за указывание на ошибки!

    Нууу, или по невнимательности допустить небольшую ошибку в ответе, или по ограниченности ума к нему даже не приблизиться…
    Да совсем не сложно отписывать я об ошибках, я их и сам раз в 10 больше делаю, когда решаю х)
    Мне интересно есть ли такая страница, где можно найтиссылки прям на ВСЕ публикации, какие только существуют? Боюсь что-то упустить.

    Неужели я в этот раз вас «поймаю», мой доброжелатель?))
    Как зовут-то, – Дмитрий?
    Все публикации можно посмотреть в сайдбаре “Архив” справа (ближе к низу).
    А в примере 3 здесь яне нашла ошибки…

    Квадратные уравнения решение через дискриминант.

    Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

    Замена переменных — метод решения сложных уравнений и неравенств, который позволяет упростить исходное выражение и привести его к стандартному виду.

    Виды замены переменной:

    1. Степенная замена: за принимается какое-то неизвестное, возведенное в степень — .
    2. Дробно-рациональная замена: за принимается какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную — , где и — многочлены степеней n и m, соответственно.
    3. Замена многочлена: за принимается целое выражение, содержащее неизвестное — или , где — многочлен степени .

    После решения упрощенного уравнения/неравенства, необходимо произвести обратную замену.

    Одним из самых важных методов решения уравнений и неравенств является метод замены переменной. Данная процедура позволяет упростить исходное выражение, тем самым приводя его к стандартному типу.

    Угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке касания.

    Рассмотрим основных вида замен переменных.

    Степенная замена

    Допустим, у нас есть выражение: .

    Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни? Правильно, данное уравнение необходимо привести к квадратному виду.

    Введем новую переменную .

    Метод замены переменной подразумевает, чтобы старой переменной не оставалось – в выражении должна остаться только одна переменная – .

    Наше выражение приобретет вид:

    – обычное квадратное уравнение

    Нашли ли мы корни исходного уравнения? Правильно, нет.

    На этом шаге не следует забывать, что нам необходимо найти значения переменной , а мы нашли только .

    Следовательно, нам необходимо вернуться к исходному выражению, то есть сделать обратную замену — вместо ставим . Далее найдем

    Решаем два новых простых уравнения, не забывая область допустимых значений!

    При у нас будет два корня:

    А что у нас будет при ? Правильно. Решений данного уравнения нет, так как квадрат любого числа – число положительное, а в нашем случае – отрицательное, соответственно, при у нас будет пустое множество (решения нет).

    В ответ следует записать необходимые нам корни, то есть , которые существуют:

    Ответ: ;

    Точно таким же образом необходимо действовать при решении неравенств.

    Выполняя замену переменных, необходимо помнить два простых правила:1. Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.

    2. Уравнение (неравенство) относительно новой переменной необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

    Попробуй самостоятельно применить метод замены переменной в уравнении .

    Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни?

    Проверь свое решение:

    Введем новую переменную .

    Наше выражение приобретет вид:

    – обычное квадратное уравнение

    Возвращаемся к исходному выражению, то есть делаем обратную замену — вместо ставим

    Оба значения имеют право на существование. Решаем два получившихся уравнения:

    Ответ:

    Дробно-рациональная замена

    Дробно-рациональная замена — многочлены степеней n и m соответственно.

    При этом необходимо помнить, что область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения (так как на ноль делить нельзя).

    Допустим, у нас есть уравнение:

    Так как на ноль делить нельзя, то в данном случае ОДЗ будет:

    Введем новую переменную .

    Сравни, что дает возведение в квадрат, с первой сгруппированной скобкой в нашем примере. Что ты видишь?

    Правильно. Разница между тем, что у нас в примере, и тем, что дает нам возведение в квадрат, заключается в удвоенном произведении слагаемых. Соответственно, его и следует вычесть, переписывая наш пример с переменной .

    В итоге мы получаем следующее выражение:

    – обычное квадратное уравнение.

    Решаем получившееся уравнение:

    Как мы помним , не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:

    Приводя к общему знаменателю , мы приходим к совокупности 2-x квадратных уравнений:

    Решим первое квадратное уравнение:

    На этой стадии не забываем про ОДЗ. Мы должны посмотреть, удовлетворяют ли найденные корни области допустимых значений? Если какой-то корень не удовлетворяет ОДЗ – он не включается в конечное решение уравнения.

    Решим второе квадратное уравнение:

    Снова смотрим, удовлетворяют ли полученные корни ОДЗ? Далее записываем конечный ответ.

    Ответ:

    У тебя получился такой же? Попробуй решить все с начала до конца самостоятельно.

    Какой ответ у тебя получился? У меня и .

    Сравним ход решения:

    Пусть , тогда выражение приобретает вид:

    Приведем слагаемые к общему знаменателю:

    Не забываем про ОДЗ — .

    Решаем квадратное уравнение:

    Как ты помнишь, не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:

    Решим первое уравнение:

    Решением первого уравнения являются корни и .

    Решим второе уравнение:

    Решения не существует. Подумай, почему? Правильно! – число положительное, — тоже всегда положительно, следовательно, при делении положительного числа на положительное никак не может получиться отрицательное!

    Ответ: ;

    Замена многочлена

    Замена многочлена или . Здесь — многочлена степени , например, выражение – многочлен степени .

    Допустим, у нас есть пример:

    Применим метод замены переменной. Как ты думаешь, что нужно принять за ? Правильно, . Уравнение приобретает вид:

    Производим обратную замену переменных:

    Решим первое уравнение:

    Решим второе уравнение:

    … Что это означает? Правильно! Что решений не существует.

    Таким образом, мы получили два ответа — ; .

    Понял как применять метод замены переменной при многочлене? Потренируйся сделать подобное самостоятельно:

    Решил? Теперь проверим с тобой основные моменты.

    Мы получаем выражение:

    Решая квадратное уравнение, мы получаем, что имеет два корня: и .

    Далее делаем обратную замену и решаем оба квадратных уравнения.

    Решением первого квадратного уравнения являются числа и

    Решением второго квадратного уравнения — числа и .

    Ответ: ; ; ;

    Подведем итоги.

    Метод замены переменной имеет основных типа замен переменных в уравнениях и неравенствах:

    1. Степенная замена, когда за мы принимаем какое-то неизвестное, возведенное в степень.

    2. Замена многочлена, когда за мы принимаем целое выражение, содержащее неизвестное.

    3. Дробно-рациональная замена, когда за мы принимаем какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную.

    Важные советы при введении новой переменной:

    1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

    2. Уравнение относительно новой переменно нужно решать до конца и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

    3. При возврате к изначальному неизвестному (да и вообще на протяжении всего решения), не забывай проверять корни на ОДЗ.

    Новая переменная вводится аналогичным образом, как в уравнениях, так и в неравенствах.

    Все книги и сборники по математике и геометрии скачать.

    Ответы:

    1. Пусть , тогда выражение приобретает вид .

    Так как , то может быть как положительным, так и отрицательным.

    Ответ:

    2. Пусть , тогда выражение приобретает вид .

    решения нет, так как .

    Ответ:

    3. Группировкой получаем:

    Пусть , тогда выражение приобретает вид
    .

    Ответ:

    Замена переменных – это введение нового неизвестного, относительно которого уравнение или неравенство имеет более простой вид.

    Разработка урока алгебры в 8-м классе по теме

    Перечислю основные типы замен.

    Найдите сумму наибольшего и наименьшего значения функции y cos 2x.

    Например, с помощью замены биквадратное уравнение приводится к квадратному: .

    В неравенствах все аналогично. Например, в неравенстве сделаем замену , и получим квадратное неравенство: .

    Разработка урока алгебры в 8-м классе по теме

    Пример (реши самостоятельно):

    Решение:

    Это дробно-рациональное уравнение (повтори «Рациональные уравнения»), но решать его обычным методом (приведение к общему знаменателю) неудобно, так как мы получим уравнение степени, поэтому применяется замена переменных. Все станет намного проще после замены: . Тогда :

    Теперь делаем обратную замену:

    Ответ: ; .

    Презентация линейная функция и её график 7 класс.

    Здесь − многочлен степени , т. е. выражение вида

    (например, выражение – многочлен степени , то есть ).

    Чаще всего используется замена квадратного трехчлена: или .

    Пример:

    Решение:

    И опять используется замена переменных . Тогда уравнение примет вид:

    Корни этого квадратного уравнения: и . Имеем два случая. Сделаем обратную замену для каждого из них:

    Значит, это уравнение корней не имеет.

    Корни этого уравнения: и .

    Ответ. .

    Найдите область определения функции f x корень из 1-x.

    и − многочлены степеней и соответственно.

    Например, при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида

    обычно используется замена .

    Сейчас покажу, как это работает.

    Легко проверить, что не является корнем этого уравнения: ведь если подставить в уравнение, получим , что противоречит условию.

    Разделим уравнение на :

    Теперь делаем замену: .

    Прелесть ее в том, что при возведении в квадрат в удвоенном произведении слагаемых сокращается x:

    Отсюда следует, что .

    Вернемся к нашему уравнению:

    Теперь достаточно решить квадратное уравнение и сделать обратную замену.

    Пример:

    Решение:

    При равенство не выполняется, поэтому . Разделим уравнение на :

    Уравнение примет вид:

    Произведем обратную замену:

    Решим полученные уравнения:

    Ответ: ; .

    Еще пример:

    Решение:

    Непосредственной подстановкой убеждаемся, что не входит в решение этого неравенства. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на :

    Теперь очевидна замена переменной: .

    Тогда неравенство примет вид:

    Используем метод интервалов для нахождения y:

    0″> при всех , так как

    Значит, неравенство равносильно следующему: .

    0″> при всех , так как

    Значит, неравенство равносильно следующему: 0″>

    0″> при всех , так как .

    Значит, неравенство равносильно следующему: .

    Итак, неравенство оказывается равносильно совокупности:

    Ответ: .

    Замена переменных – один из важнейших методов решения уравнений и неравенств.

    Напоследок дам тебе пару важных советов:

    1. Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.
    2. Уравнение (неравенство) относительно новой переменно необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

    Комментарии

    В методе замены переменной при многочлене во втором примере при решении второго квадратного уравнения будут корни 4 и 0,5.

    Пётр, спасибо, ошибку исправили.

    Подскажите как в первом примере «Дробно-рациональная замена» после слов: «Правильно. Разница между тем, что у нас в примере, и тем, что дает нам возведение в квадрат, заключается в удвоенном произведении слагаемых. Соответственно, его и следует вычесть, переписывая наш пример с переменной t \displaystyle tt.» В уравнении выявилось число 6 ?

    Игорь, в удвоенном произведении x на 3/x, то есть в выражении 2*x*3/x, переменная х сокращается, и остаются только числа 2*3=6.

    Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

    Политика конфиденциальности

    Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

    Сбор и использование персональной информации

    Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

    От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

    Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

    Какую персональную информацию мы собираем:

    • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

    Как мы используем вашу персональную информацию:

    • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
    • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
    • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
    • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

    Раскрытие информации третьим лицам

    Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

    • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
    • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

    Защита персональной информации

    Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

    Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

    Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

    Спасибо за сообщение!

    Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

    Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

    { Comments are closed }

    Химия, часть С. Задача С5. Определение формул органических веществ

    Задачи на определение формулы органического вещества бывают нескольких видов. Обычно решение этих задач не представляет особых сложностей, однако часто выпускники теряют баллы на этой задаче. Причин бывает несколько:

    1. Некорректное оформление;
    2. Решение не математическим путем, а методом перебора;
    3. Неверно составленная общая формула вещества;
    4. Ошибки в уравнении реакции с участием вещества, записанного в общем виде.

    Как определить тупой угол в равнобедренном треугольнике.

    Решение задачи 3 класса по математике 2 часть страница.

    1. Определение формулы вещества по массовым долям химических элементов или по общей формуле вещества;
    2. Определение формулы вещества по продуктам сгорания;
    3. Определение формулы вещества по химическим свойствам.

    Мяч брошен по углом 30 градусов к горизонту со скоростью.

    1. Массовая доля элемента в веществе.
      Массовая доля элемента — это его содержание в веществе в процентах по массе.
      Например, в веществе состава С2Н4 содержится 2 атома углерода и 4 атома водорода. Если взять 1 молекулу такого вещества, то его молекулярная масса будет равна:
      Мr(С2Н4) = 2 • 12 + 4 • 1 = 28 а. е.м. и там содержится 2 • 12 а. е.м. углерода.

    Чтобы найти массовую долю углерода в этом веществе, надо его массу разделить на массу всего вещества:
    ω(C) = 12 • 2 / 28 = 0,857 или 85,7%.
    Если вещество имеет общую формулу СхНуОz, то массовые доли каждого их атомов так же равны отношению их массы к массе всего вещества. Масса х атомов С равна — 12х, масса у атомов Н — у, масса z атомов кислорода — 16z.
    Тогда
    ω(C) = 12 • х / (12х + у + 16z)

    Если записать эту формулу в общем виде, то получится следующее выражение:

    Молекулярная (истинная) формула — формула, в которой отражается реальное число атомов каждого вида, входящих в молекулу вещества.
    Например, С6Н6 — истинная формула бензола.
    Простейшая (эмпирическая) формула — показывает соотношение атомов в веществе.
    Например, для бензола соотношение С:Н = 1:1, т. е. простейшая формула бензола — СН.
    Молекулярная формула может совпадать с простейшей или быть кратной ей.

    Если в задаче даны только массовые доли элементов, то в процессе решения задачи можно вычислить только простейшую формулу вещества. Для получения истинной формулы в задаче обычно даются дополнительные данные — молярная масса, относительная или абсолютная плотность вещества или другие данные, с помощью которых можно определить молярную массу вещества.

  • Относительная плотность газа Х по газу У — DпоУ(Х).
    Относительная плотность D — это величина, которая показывает, во сколько раз газ Х тяжелее газа У. Её рассчитывают как отношение молярных масс газов Х и У:
    DпоУ(Х) = М(Х) / М(У)
    Часто для расчетов используют относительные плотности газов по водороду и по воздуху.
    Относительная плотность газа Х по водороду:
    Dпо H2 = M(газа Х) / M(H2) = M(газа Х) / 2
    Воздух — это смесь газов, поэтому для него можно рассчитать только среднюю молярную массу. Её величина принята за 29 г/моль (исходя из примерного усреднённого состава).
    Поэтому:
    Dпо возд. = М(газа Х) / 29
  • Абсолютная плотность газа при нормальных условиях.

    Абсолютная плотность газа — это масса 1 л газа при нормальных условиях. Обычно для газов её измеряют в г/л.
    ρ = m(газа) / V(газа)
    Если взять 1 моль газа, то тогда:
    ρ = М / Vm ,
    а молярную массу газа можно найти, умножая плотность на молярный объём.

  • Общие формулы веществ разных классов.
    Часто для решения задач с химическими реакциями удобно пользоваться не обычной общей формулой, а формулой, в которой выделена отдельно кратная связь или функциональная группа.

    Примеры решения исследования функций и построения графиков.

    Описание разработки

    Решение расчётных задач занимает важное место в изучении основ химической науки. С задачами на вывод химической формулы вещества учащиеся встречаются при прохождении программы химии с 8 по 11 классы. В данной разработке предлагаются разные способы решения задач на нахождение формулы вещества на основании его плотности, массовой доли химических элементов в веществе и по продуктам сгорания.

    I тип задач.

    Определение молекулярной формулы вещества на основании результатов количественного анализа (массовой доли) и относительной плотности.

    Задача. Найдите молекулярную формулу углеводорода, содержание углерода в котором 80%, а водорода – 20%, относительная плотность по водороду равна 15.

    1. Определяем Mr вещества:

    Mr вещ-ва = 15*2=30

    2. Определяем, сколько по массе приходиться на углерод:

    3. Определяем, сколько по массе приходится на водород:

    4. Определяем число атомов углерода и водорода в данном веществе:

    n (С) = 24 /12 = 2 атома;

    n (Н) = 6/1 = 6 атомов.

    1. Mr вещ-ва =15*2=30.

    2. Переходим от массовых долей к мольным долям. Для этого массовые доли надо разделить на относительную атомную массу.

    v мольная доля = w%/Аr

    Найдем мольные доли углерода и водорода.

    х — число мольных долей углерода;

    у – число мольных долей водорода.

    х:у = 80/12 : 20/1 = 6,7 : 20

    Наименьшее число принимаем за 1, а остальные числа делим на наименьшее. При этом получается:

    1 : 3, значит, простейшая формула СН3. Составляем уравнение и определяем истинную формулу:

    12n + 3n = 30, 15n = 30, n =2, тогда истинная формула С2Н6.

    Можно сразу определить число атомов элементов, входящих в состав вещества по формуле

    n= w*Mr / Аr, но при этом должна быть известна Mr .

    2. n (С)= 0,8*30/12= 2 атома;

    n (Н)=0,2*30/1 = 6 атомов.

    II тип задач.

    Определение молекулярной формулы вещества на основании продуктов сгорания и относительной плотности.

    Задача. При сгорании 1,3 г вещества образуется 4,4 г оксида углерода(IV) и 0,9 г воды. Плотность паров этого вещества по водороду равна 39. Определить молекулярную формулу данного вещества.

    1. Mr(в-ва) = 39*2 = 78

    2. Определяем массу углерода по оксиду углерода (IV).

    В 44 г (CО2) содержится 12 г (С),

    а в 13,2 г (CО2) – х г (С); х=3,6 г.

    Определяем массу водорода по воде

    В 18 г (Н2О) – 2 г (Н), а в 2,7 г (Н2О) – у г(Н); у = 0,3 г (Н).

    3. Определяем, есть ли в веществе кислород m(С) +m (Н) = 3,6+0,3=3,9 г. Значит, кислорода нет.

    4. Определяем отношение атомов.

    Пусть х – число атомов углерода, у – число атомов водорода

    х : у= 3,6/12 : 0,3/1 = 0,3 : 0,3 = 1: 1.

    Химия, часть С. Задача С5. Определение формул органических веществ

    Простейшая формула СН, но т. к. Mr(вещества )= 78, то составляем уравнение:

    Тогда истинная формула вещества С6Н6.

    1. Mr(в-ва) = 39*2 = 78

    2. Массу углерода определяют по массе оксида углерода (IV), а массу водорода – по массе воды.

    Для определения количество вещества оксида углерода (IV) и количество вещества воды, а по ним

    v(С) = v(CО2)= 13,2 г/44 г/моль

    б)определяем массы углерода и водорода:

    m(С) = 12* 0,3 = 3,6 г

    3. Определяем, есть ли в веществе кислород:

    m(С) + m(Н) = 3,6 + 0,3= 3,9 г.

    Значит, кислорода нет.

    4. Находим соотношение атомов углерода и водорода

    v(С) : v(Н) = 0,3: 0,3= 1:1.

    Простейшая формула вещества СН.

    5. Определяем истинную формулу вещества:

    12* 1 n + 1 n = 78

    Учащиеся выбирают для себя наиболее приемлемый способ решения подобных задач.

    Содержимое разработки

    Решение расчетных задач на нахождение молекулярной формулы вещества.

    Решение расчётных задач занимает важное место в изучении основ химической науки. С задачами на вывод химической формулы вещества учащиеся встречаются при прохождении программы химии с 8 по 11 классы. В данной разработке предлагаются разные способы решения задач на нахождение формулы вещества на основании его плотности, массовой доли химических элементов в веществе и по продуктам сгорания.

    Определение молекулярной формулы вещества на основании результатов количественного анализа (массовой доли) и относительной плотности.

    Задача. Найдите молекулярную формулу углеводорода, содержание углерода в котором 80%, а водорода – 20%, относительная плотность по водороду равна 15.

    W(С)=80% 1.Определяем Mr вещества:

    ____________ Mr вещ-ва = 15*2=30

    Формула — ? 2.Определяем, сколько по массе приходиться на углерод:

    3.Определяем, сколько по массе приходится на водород:

    4.Определяем число атомов углерода и водорода в данном веществе:

    n (С) = 24 /12 = 2 атома;

    n (Н) = 6/1 = 6 атомов.

    1. Mr вещ-ва =15*2=30.

    2.Переходим от массовых долей к мольным долям. Для этого массовые доли надо разделить на относительную атомную массу.

    v мольная доля = w%/Аr

    Найдем мольные доли углерода и водорода.

    х — число мольных долей углерода;

    у – число мольных долей водорода.

    х:у = 80/12 : 20/1 = 6,7 : 20

    Наименьшее число принимаем за 1, а остальные числа делим на наименьшее. При этом получается:

    1 : 3, значит, простейшая формула СН3. Составляем уравнение и определяем истинную формулу:

    12n + 3n = 30, 15n = 30, n =2, тогда истинная формула С2Н6.

    Можно сразу определить число атомов элементов, входящих в состав вещества по формуле

    n= w*Mr / Аr, но при этом должна быть известна Mr .

    2. n (С)= 0,8*30/12= 2 атома;

    n (Н)=0,2*30/1 = 6 атомов.

    Определение молекулярной формулы вещества на основании продуктов сгорания и относительной плотности.

    Задача. При сгорании 1,3 г вещества образуется 4,4 г оксида углерода(IV) и 0,9 г воды. Плотность паров этого вещества по водороду равна 39. Определить молекулярную формулу данного вещества.

    m(в-ва) =3,9 г 1. Mr(в-ва) = 39*2 = 78

    m(CО2) = 13,2 2. Определяем массу углерода по оксиду углерода (IV).

    D(Н2)= 39 В 44 г (CО2) содержится 12 г (С),

    _____________ а в 13,2 г (CО2) – х г (С); х=3,6 г.

    Молекулярная Определяем массу водорода по воде

    Формула — ? М(Н2О) = 18 г/моль, m(Н2О) = 18 г.

    В 18 г (Н2О) – 2 г (Н),

    а в 2,7 г (Н2О) – у г(Н); у = 0,3 г (Н).

    3.Определяем, есть ли в веществе кислород m(С) +m (Н) = 3,6+0,3=3,9 г. Значит, кислорода нет.

    4.Определяем отношение атомов.

    Пусть х – число атомов углерода, у – число атомов водорода

    х : у= 3,6/12 : 0,3/1 = 0,3 : 0,3 = 1: 1.

    Простейшая формула СН, но т. к. Mr(вещества )= 78, то составляем уравнение:

    Тогда истинная формула вещества С6Н6.

    1. Mr(в-ва) = 39*2 = 78

    2. Массу углерода определяют по массе оксида углерода (IV), а массу водорода – по массе воды.

    Для определения количество вещества оксида углерода (IV) и количество вещества воды, а по ним

    v(С) = v(CО2)= 13,2 г/44 г/моль

    б)определяем массы углерода и водорода:

    m(С) = 12* 0,3 = 3,6 г

    3.Определяем, есть ли в веществе кислород:

    Химия, часть С. Задача С5. Определение формул органических веществ

    m(С) + m(Н) = 3,6 + 0,3= 3,9 г.

    Значит, кислорода нет.

    4. Находим соотношение атомов углерода и водорода

    v(С) : v(Н) = 0,3: 0,3= 1:1.

    Простейшая формула вещества СН.

    5. Определяем истинную формулу вещества:

    12* 1 n + 1 n = 78

    Учащиеся выбирают для себя наиболее приемлемый способ решения подобных задач.

    Найти общий вид первообразной для функции f x на примере.

    Разделы: Химия

    Цель: применение алгоритма при решении задач на вывод формул.

    Задачи:

    • расширить знания учащихся о способах решения задач;
    • закрепить навыки работы с алгоритмами;
    • показать взаимосвязь химии и математики.

    1. Оргмомент

    Учитель знакомит класс с темой урока, целью и задачами урока.

    2. Повторение общих формул органических веществ.

    Учитель предлагает учащимся назвать общие формулы алканов, алкенов, алкинов, циклоалканов, алкадиенов, типы гибридицациии атомов углерода, характерные изомерии для каждого класса.

    3. Составление алгоритма для решения задач на нахождение формулы вещества по продуктам сгорания вещества, если дана относительная плотность.

    1. Вычисляем молярную массу вещества.

    2. Вычисляем количество атомов С:

    а) если СО2 дано по массе:

    б) если СО2 дано в объеме:

    3. Вычисляем количество атомов Н:

    Так как в молекуле Н2О 2 моля Н, тогда формулу умножаем на 2 (это применимо и к N)

    4. Вычисляем молярную массу полученного вещества.

    5. Если молярная масса полученного вещества равна молярной массе вещества (1), тогда задача решена правильно; если молярная масса полученного вещества отличается от молярной массы вещества (1), вычисляем разность и определяем количество атомов кислорода, если вещество кислородосодержащие, или азота, если вещество азотосодержащее.

    При сгорании органического вещества массой 2, 37 г образовалось 3,36 г оксида углерода(IV) (н. у.), 1,35 г воды и азот. Относительная плотность этого вещества по воздуху равна 2,724. Выведите молекулярную формулу вещества.

    Дано:

    m ( в-ва) = 2,37г
    V (CO2) = 3,36 л
    m (H2O) = 1,35 г
    D (возд.) = 2,724.
    _________________

    Найти:

    CxHyNz
    М(возд) = 29 г/моль
    М(Н2О) = 18 г/моль
    Vm = 22,4л/моль

    Решение:

    1. Применяем формулу (1)

    M(в-ва) = 29 г/моль * 2,724 =79 г/моль.

    Находим количество атомов С по формуле (3)

    2. Находим количество атомов Н по формуле (4)

    3. Вычисляем молярную массу С5Н5.

    М(С5Н5) = 12 * 5 + 1 * 5 = 65г/моль

    4. Вычисляем количество атомов азота (5)

    79 – 65 = 14. т. к. атомная масса азота – 14, значит в данной формулу один атом N.

    4. Составление алгоритма нахождение молекулярной формулы вещества по его относительной плотности и массовой доле элементов в соединении.

    1. Вычисляем молярную массу вещества.

    2. Вычисляем количество атомов элемента:

    а) если w дана в процентах:

    б) если w дана в долях:

    3. Вычисляем молярную массу полученного вещества.

    4. Если молярная масса полученного вещества равна молярной массе вещества (1), тогда задача решена правильно; если молярная масса полученного вещества отличается от молярной массы вещества (1), вычисляем разность и определяем количество атомов кислорода, если вещество кислородосодержащие, или азота, если вещество азотосодержащее.

    Выведите формулу вещества, содержащего 82,75% углерода и 17,25 % водорода. Относительная плотность паров этого вещества по воздуху равна 2.

    Дано:

    w(C) = 82,75%
    w(H) = 17,25%
    D(возд) = 2
    ______________

    Найти:

    СхНу
    M(воздуха) = 29г/моль

    М(С4Н10) =12 * 4 + 1 * 10 = 58г/моль

    Решение:

    1. Применяем формулу (1)

    M(в-ва) = 29 г/моль * 2 =58 г/моль.

    2. Находим количество атомов С по формуле (2)

    3. Находим количество атомов Н по формуле (2)

    4. Вычисляем молярную массу С4Н10

    М(С4Н10) = 12 * 4 + 1 * 10 = 58г/моль

    5. Вычисленная молярная масса совпадает с (1), задача решена.

    5. Закрепление материала

    Учащиеся решают задачи самостоятельно, по необходимости консультируются с учителем.

    Задача 1. При сгорании 11,2 г. Углеводорода получили оксид углерода массой 35,2 г и воду массой 14,4 г. Относительная плотность этого углеводорода по воздуху равна 1,93. Выведите молекулярную формулу.

    Задача 2. При сжигании 2.2 г. вещества получили 4,4 г оксида углерода и 1,8 г. воды. Относительная плотность вещества по водороду равна 44. Определите молекулярную формулу вещества.

    Химия, часть С. Задача С5. Определение формул органических веществ

    Задача 3. Выведите формулу вещества, содержащего 81,8% углерода и 18,2 % водорода, если относительная плотность по водороду равна 22.

    Задача 4. Определите молекулярную формулу углеводорода, если массовая доля углерода равна 85,75, а водорода –14,3%. Относительная плотность этого вещества по азоту примерно равна 2.

    6. Домашнее задание

    Гара Н. Н., Горбусева Н. И. Сборник задач. – М.:Дрофа, 2010.
    Задачи: 1.5; 1.17; 2.10; 2.27.

  • { Comments are closed }

    ГДЗ по математике 6 класс (тетрадь-тренажёр) Бунимович

    авторы: Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева. (Математика. Арифметика. Геометрия)

    Здесь вы найдете отличный решебник к тетради-тренажеру по математике 6 класс автора Бунимовича. Данный сборник содержит готовые онлайн ответы и поможет вам комфортно проверять правильность выполнения домашних и школьных заданий.

    Катет прямоугольного треугольника авс с прямым углом с лежит в плоскости альфа.

    ГДЗ готовые домашние задания к тетради тренажеру по математике 6 класс Бунимович Кузнецова Минаева ФГОС от Путина. Решебник (ответы на вопросы и задания) рабочей тетради необходим для проверки правильности домашних заданий без скачивания онлайн

    Выберите номер задания тетради-тренажера

    Последовательности арифметическая и геометрическая прогрессия формулы.

    ГДЗ по математике 6 класс (тетрадь-тренажёр) Бунимович

    авторы: Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева.

    Издатель: Просвещение 2016 год.

    Здесь вы найдете тетрадь тренажёр по Математике 6 класса авторы: Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева, от издательства Просвещение 2016. ГДЗ содержит все ответы на вопросы и поможет Вам правильно выполнить домашнее задание.

    Сколько методов в принятии управленческих решений.

    ГДЗ по математике 6 класс (тетрадь-тренажёр) Бунимович

    ГДЗ к учебнику по математике за 6 класс Бунимович можно скачать здесь.

    Ответ к задачнику по математике за 6 класс Бунимович можно скачать здесь.

    { Comments are closed }

    Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

    Пример системы уравнений с двумя переменными.

    Здесь – некоторые константы.

    Определение производной производная степенной функции.

    Решение уравнения (2) ищется в виде:

    После подстановки этого решения в уравнение (2) получаем алгебраическое уравнение

    Это квадратное уравнение называется характеристическим уравнением, соответствующим однородному дифференциальному уравнению (2).

    В результате решения характеристического уравнения, возможны следующие варианты:

    1) корни характеристического уравнения – различные действительные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

    2) корни характеристического уравнения – равные действительные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

    Решение задач по математике 3 класс истомина 2013 часть 2.

    3) корни характеристического уравнения – комплексно сопряженные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

    Как найти острый угол между прямой и плоскостью в прямой призме.

    Его корни (их можно найти, например, либо с использованием дискриминанта, либо по теореме Виета). Поскольку корни характеристического уравнения действительны и различны, то решение заданного однородного дифференциального уравнения второго порядка запишется в виде:

    Решая его, получаем, что , то есть корни характеристического уравнения действительны и равны друг другу. Тогда искомое решение принимает вид:

    Значение констант и из заданных начальных условий :

    Из второго условия получим:

    Итак, получаем, что корнями характеристического многочлена являются комплексно сопряженные числа, для которых . Тогда искомое решение

    К уравнениям вида (1) чаще всего применяются два метода решения: метод вариации произвольных постоянных и метод неопределенных коэффициентов.

    Примеры решения задач по сопромату на прочность и жесткость.

    Если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (2), то общее решение неоднородного уравнения (1) можно найти, используя метод вариации произвольных постоянных.

    Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (1) имеет вид:

    Далее варьируем произвольные постоянные, то есть считаем, что в указанном решении величины и – это не постоянные, а функции переменной x:

    То есть решение неоднородного уравнения тогда ищется в виде:

    Искомые функции и находятся из системы

    Определитель этой системы

    называется определителем Вронского.

    Решая систему (5) относительно пока неизвестных функций и (а точнее относительно их производных и ), будем иметь:

    Интегрируя последние равенства, получаем:

    Подставляя полученные в результате функции в решение (4), будем иметь:

    или, после упрощения

    Его характеристическое уравнение имеет вид:

    Его корни . То есть в данном случае корни комплексные и для них . Следовательно, решение однородного уравнения запишется в виде:

    Варьируем произвольные постоянные: . То есть решение исходного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будем искать в виде:

    Для нахождения функций и составляем следующую систему уравнений:

    Из первого уравнения получаем, что

    Подставляя во второе уравнение системы, будем иметь:

    Получили дифференциальное уравнение первого порядка относительно искомой функции . Интегрируем левую и правую части последнего равенства. В результате будем иметь:

    Найдем теперь функцию . Поскольку

    21 марта лучи солнца падают под прямым углом на.

    Если правая часть неоднородного дифференциального уравнения (1) представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию (или комбинацию указанных функций):

    то тогда решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.

    В любом из случаев вид частного решения соответствует структуре правой части исходного неоднородного дифференциального уравнения.

    1) Если правая часть уравнения (1) имеет вид (7), то частное решение ищем в виде:

    где – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами и s=0 при , которое не является корнем характеристического многочлена, или s кратности , где — корень характеристического многочлена.

    2) Если правая часть уравнения (1) имеет вид (8), то частное решение будем искать следующим образом:

    Здесь – многочлены степени k с неопределенными коэффициентами и s=0 ( не является корнем характеристического многочлена), или s кратности — корень характеристического многочлена.

    Неизвестные коэффициенты многочленов определяются подстановкой выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение (1).

    Производная сложной функции со сложной функцией в степени.

    Вид общего решения

    Корни и действительные и различные

    действительные и одинаковые

    Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

    Решение: Составим характеристическое уравнение: .

    Решив его, найдем корни , действительные и различные. Следовательно, общее решение имеет вид: .

    Решение: Составим характеристическое уравнение: .

    Решив его, найдем корни действительные и одинаковые. Следовательно, общее решение имеет вид: .

    Решение: Составим характеристическое уравнение: .

    Решив его, найдем корни комплексные. Следовательно, общее решение имеет вид: .

    Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

    Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид , где – частное решение этого уравнения, – общее решение соответствующего однородного уравнения, т. е. уравнения .

    Вид частного решения неоднородного уравнения (1) в зависимости от правой части :

    , где – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

    , где – число, показывающее, сколько раз = является корнем характеристического уравнения.

    , где – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с .

    где – число корней характеристического уравнения, совпадающих с .

    Рассмотрим различные виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения :

    1. Пусть правая часть имеет вид , где – многочлен степени . Тогда частное решение можно искать в виде , где – многочлен той же степени, что и , а – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

    Найти общее решение .

    А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

    Б) Так как правая часть уравнения является многочленом первой степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю ( ), то частное решение ищем в виде , где и – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды и подставляя , и в исходное уравнение, находим .

    Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства , , находим , . Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение .

    2. Пусть правая часть имеет вид , где – многочлен степени . Тогда частное решение можно искать в виде , где – многочлен той же степени, что и , а – число, показывающее, сколько раз является корнем характеристического уравнения.

    Найти общее решение .

    А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

    Б) Так как правая часть уравнения есть функция , то контрольное число данного уравнения , оно не совпадает с корнями характеристического уравнения . Тогда частное решение ищем в виде , где – неизвестный коэффициент. Дифференцируя дважды и подставляя , и в исходное уравнение, находим . Откуда , то есть или .

    Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение .

    3. Пусть правая часть имеет вид , где и – данные числа. Тогда частное решение можно искать в виде , где и – неизвестные коэффициенты, а – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с . Если в выражение функции входит хотя бы одна из функций или , то в надо всегда вводитьобе функции.

    Найти общее решение .

    А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

    Б) Так как правая часть уравнения есть функция , то контрольное число данного уравнения , оно не совпадает с корнями характеристического уравнения . Тогда частное решение ищем в виде

    , где и – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды , получим и . Подставляя , и в исходное уравнение, находим

    Приводя подобные слагаемые, получим

    Приравниваем коэффициенты при и в правой и левой частях уравнения соответственно. Получаем систему . Решая ее, находим , .

    Итак, частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .

    Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .

    Решение квадратных уравнений формулы корней квадратного уравнения.

    Переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Если Вы смутно представляете, что такое дифференциальное уравнение (или вообще не понимаете, что это такое), то рекомендую начать с урока Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Многие принципы решения и базовые понятия диффуров первого порядка автоматически распространяются и на дифференциальные уравнения высших порядков, поэтому очень важно сначала разобраться с уравнениями первого порядка.

    Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

    У многих читателей может быть предубеждение, что ДУ 2-го, 3-го и др. порядков – что-то очень трудное и недоступное для освоения. Это не так. Научиться решать диффуры высшего порядка вряд ли сложнее, чем «обычные» ДУ 1-го порядка. А местами – даже проще, поскольку в решениях активно используется материал школьной программы.

    Наиболее популярны дифференциальные уравнения второго порядка. В дифференциальное уравнение второго порядка обязательно входит вторая производная и не входят производные более высоких порядков:

    Следует отметить, что некоторые из малышей (и даже все сразу) могут отсутствовать в уравнении, важно, чтобы дома был отец . Самое примитивное дифференциальное уравнение второго порядка выглядит так:

    Дифференциальные уравнения третьего порядка в практических заданиях встречаются значительно реже, по моим субъективным наблюдениям в Государственную Думу они бы набрали примерно 3-4% голосов.

    В дифференциальное уравнение третьего порядка обязательно входит третья производная и не входят производные более высоких порядков:

    Самое простое дифференциальное уравнение третьего порядка выглядит так: – папаша дома, все дети на прогулке.

    Аналогичным образом можно определить дифференциальные уравнения 4-го, 5-го и более высоких порядков. В практических задачах такие ДУ проскакивают крайне редко, тем не менее, я постараюсь привести соответствующие примеры.

    Дифференциальные уравнения высших порядков, которые предлагаются в практических задачах, можно разделить на две основные группы.

    1) Первая группа – так называемые уравнения, допускающие понижение порядка. Налетайте!

    2) Вторая группа – линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Которые мы начнем рассматривать прямо сейчас.

    Задачи на тему решение треугольника 9 класс задачи.

    В теории и практике различают два типа таких уравнений – однородное уравнение и неоднородное уравнение.

    Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:
    , где и – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

    Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
    , где и – константы, а – функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае функция может быть числом, отличным от нуля.

    Какая мысль приходит в голову после беглого взгляда? Неоднородное уравнение кажется сложнее. На этот раз первое впечатление не подводит!

    Кроме того, чтобы научиться решать неоднородные уравнения необходимо уметь решать однородные уравнения. По этой причине сначала рассмотрим алгоритм решения линейного однородного уравнения второго порядка:

    Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение:

    По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно:
    вместо второй производной записываем ;
    вместо первой производной записываем просто «лямбду»;
    вместо функции ничего не записываем.

    – это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить.

    Существуют три варианта развития событий. Они доказаны в курсе математического анализа, и на практике мы будем использовать готовые формулы.

    Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня

    Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня , (т. е., если дискриминант ), то общее решение однородного уравнения выглядит так:
    , где – константы.

    В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть, например, , тогда общее решение: .

    Решить дифференциальное уравнение

    Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

    ,
    Получены два различных действительных корня (от греха подальше лучше сразу же выполнить проверку, подставив корни в уравнение).
    Всё, что осталось сделать – записать ответ, руководствуясь формулой

    Ответ: общее решение:

    Не будет ошибкой, если записать общее решение наоборот: , но хорошим стилем считается располагать коэффициенты по возрастанию, сначала –2, потом 1.

    Придавая константам различные значения, можно получить бесконечно много частных решений.

    Теперь неплохо бы освежить базовые понятия урока Дифференциальные уравнения. Примеры решений. А что значит вообще решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит найти множество решений, которое удовлетворяет данному уравнению. Такое множество решений, напоминаю, называется общим интегралом или общим решением дифференциального уравнения.

    Таким образом, в рассмотренном примере найденное общее решение должно удовлетворять исходному уравнению . Точно так же, как и у диффуров 1-го порядка, в большинстве случаев легко выполнить проверку:

    Берем наш ответ и находим производную:

    Получена правая часть исходного уравнения (ноль), значит, общее решение найдено правильно (оно, как проверено, удовлетворяет уравнению ).

    Найти общее решение дифференциального уравнения, выполнить проверку

    Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

    На самом деле проверка таких простейших примеров практически никогда не выполняется, но, дело в том, что навык и сама техника проверки очень пригодятся, когда вы будете решать более сложные неоднородные уравнения второго порядка. Поэтому было целесообразно сразу же ознакомить вас с алгоритмом.

    Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня

    Если характеристическое уравнение имеет два кратных (совпавших) действительных корня (дискриминант ), то общее решение однородного уравнения принимает вид:
    , где – константы.
    Вместо в формуле можно было нарисовать , корни всё равно одинаковы.

    Если оба корня равны нулю , то общее решение опять же упрощается: . Кстати, является общим решением того самого примитивного уравнения , о котором я упоминал в начале урока. Почему? Составим характеристическое уравнение: – действительно, данное уравнение как раз и имеет совпавшие нулевые корни .

    Решить дифференциальное уравнение

    Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

    Получены два кратных действительных корня

    Ответ: общее решение:

    Найти общее решение дифференциального уравнения

    Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

    Желающие могут потренироваться и выполнить проверку, но она здесь будет труднее.

    Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни

    Для понимания третьего случая требуются элементарные знания про комплексные числа. Если материал позабылся, прочитайте урок Комплексные числа для чайников, в частности, параграф Извлечение корней из комплексных чисел.

    Если характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни , (дискриминант ), то общее решение однородного уравнения принимает вид:
    , где – константы.
    Примечание: Сопряженные комплексные корни почти всегда записывают кратко следующим образом:

    Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни: , то общее решение упрощается:

    Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка

    Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

    Ответ: общее решение:

    Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка

    Полное решение и ответ в конце урока.

    Иногда в заданиях требуется найти частное решение однородного ДУ второго порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям, то есть, решить задачу Коши. Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце задачи добавляется один пункт.

    Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям ,

    Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

    Теперь нужно найти частное решение, соответствующее заданным начальным условиям. Наша задача состоит в том, чтобы найти ТАКИЕ значения констант , чтобы выполнялись ОБА условия.

    Сначала используем начальное условие :

    Далее берём наше общее решение и находим производную:

    Составим и решим систему из двух найденных уравнений:

    Допустимо использовать «школьный» метод решения, но в высшей математике чаще применяют метод почленного сложения/вычитания уравнений системы, посетите соответствующий урок, если не знакомы с методом.

    В составленной системе удобно разделить второе уравнение на 2 и почленно сложить уравнения:

    Всё, что осталось сделать – подставить найденные значения констант в общее решение :

    Ответ: частное решение:

    Проверка осуществляется по следующей схеме:
    Сначала проверим, выполняется ли начальное условие :
    – начальное условие выполнено.

    Находим первую производную от ответа:

    Находим вторую производную:

    Подставим и в левую часть исходного дифференциального уравнения :
    , что и требовалось проверить.

    Таким образом, частное решение найдено верно.

    Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , . Выполнить проверку.

    Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока. Если возникли затруднения с нахождение корней характеристического уравнения, прочитайте параграф Извлечение корней из комплексных чисел урока Комплексные числа для чайников. Если не помните значения тригонометрических функций, используйте Тригонометрические таблицы.

    Как видите, особых сложностей с однородными уравнениями нет, главное, правильно решить квадратное уравнение.

    Иногда встречаются нестандартные однородные уравнения, например уравнение в виде , где при второй производной есть некоторая константа , отличная от единицы (и, естественно, отличная от нуля). Алгоритм решения ничуть не меняется, следует невозмутимо составить характеристическое уравнение и найти его корни. Если характеристическое уравнение будет иметь два различных действительных корня, например: , то общее решение запишется по обычной схеме: .

    В ряде случаев из-за опечатки в условии могут получиться «нехорошие» корни, что-нибудь вроде . Что делать, ответ придется записать так:

    С «плохими» сопряженными комплексными корнями наподобие тоже никаких проблем, общее решение:

    То есть, общее решение в любом случае существует. Потому что любое квадратное уравнение имеет два корня.

    В заключительном параграфе, как я и обещал, коротко рассмотрим:

    Во сколько раз площадь прямоугольника со сторонами 9 см и 4 см больше чем.

    Всё очень и очень похоже.

    Линейное однородное уравнение третьего порядка имеет следующий вид:
    , где – константы.
    Для данного уравнения тоже нужно составить характеристическое уравнение и найти его корни. Характеристическое уравнение, как многие догадались, выглядит так:
    , и оно в любом случае имеет ровно три корня.

    Пусть, например, все корни действительны и различны: , тогда общее решение запишется следующим образом:

    Если один корень действительный , а два других – сопряженные комплексные , то общее решение записываем так:

    Особый случай, когда все три корня кратны (одинаковы). Рассмотрим простейшие однородное ДУ 3-го порядка с одиноким папашей: . Характеристическое уравнение имеет три совпавших нулевых корня . Общее решение записываем так:

    Если характеристическое уравнение имеет, например, три кратных корня , то общее решение, соответственно, такое:

    Решить однородное дифференциальное уравнение третьего порядка

    Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

    Ответ: общее решение

    Аналогично можно рассмотреть линейное однородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами: , где – константы.

    Соответствующее характеристическое уравнение всегда имеет ровно четыре корня.

    Общее решение записывается точно по таким же принципам, как и для однородных диффуров младших порядков. Единственное, хотелось прокомментировать тот случай, когда все 4 корня являются кратными. Пусть, например, характеристическое уравнение имеет четыре одинаковых корня . Тогда общее решение записывается так:
    .

    Тривиальное уравнение имеет общее решение:

    Решить однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка

    Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

    Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

    Полагаю, практически все смогут расправиться и с однородными дифференциальными уравнениями 5-го, 6-го и высших порядков. Мне очень не хотелось записывать общие формулы, рассказывать о фундаментальной системе решений и т. д. Но, процесс конструирования общего решения вроде раскрыт мной неплохо.

    На посошок предлагаю решить однородный диффур как раз для закрепления вашего понимания. Да чего мелочиться:

    Решить однородное дифференциальное уравнение шестого порядка

    Полное решение и ответ ближе к подвалу. Караул устал – караул упал.

    После такой основательной подготовки можно смело переходить к освоению линейных неоднородных уравнений 2-го, а затем и высших порядков.

    Решения и ответы:

    Пример 2: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

    , – различные действительные корни
    Ответ: общее решение:
    Проверка: Найдем производную:

    Найдем вторую производную:

    Подставим и в левую часть исходного уравнения :
    , таким образом, общее решение найдено правильно.

    Пример 4: Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

    Получены два кратных действительных корня
    Ответ: общее решение:

    Пример 6: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

    – сопряженные комплексные корни
    Ответ: общее решение:

    Пример 8: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

    – получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:

    Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
    , то есть , (значение константы получилось сразу же).

    .
    То есть .
    Составим и решим систему:

    Ответ: частное решение:
    Проверка: – начальное условие выполнено.

    – второе начальное условие выполнено.

    Подставим и в левую часть исходного уравнения:

    Получена правая часть исходного уравнения (ноль).
    Такие образом, здание выполнено верно.

    Пример 10: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

    , – получены два различных действительных корня и два сопряженных комплексных корня.
    Ответ: общее решение

    Пример 11: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

    , – получены пять кратных нулевых корней и действительный корень
    Ответ: общее решение

    { Comments are closed }

    Метод замены переменной в неопределённом интеграле

    Прямая а параллельна плоскости альфа а прямая б пересекает плоскость альфа определите.

    Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

    Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула

    Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле.

    Метод замены переменной обычно применяется, когда подынтегральное выражение представляет собой независимую переменную, умноженную на многочлен от этой переменной, или на тригонометрическую функцию от этой переменной или на степенную функцию (в том числе корень) от этой переменной.

    Техническая механика решение задач реакция стержней.

    Надо полагать, вы уже держите перед собой домашние задания и готовы применять к ним приёмы по аналогии с теми, которые мы ниже рассмотрим. При этом не обойтись без преобразований выражений. Для этого потребуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

    Пример 1. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

    Решение. Положим x – 1 = t ; тогда x = t + 1. Отсюда dx = dt . По формуле (1)

    Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем

    Замечание. При замене переменной в неопределённом интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию t, а, наоборот, задавать t как функцию от x.

    Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет известные трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

    Пример 2. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

    Решение. Положим . Отсюда
    .
    По формуле (1)

    Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем

    Если трудно уследить, куда в процессе решения примера 2 делись и , это признак того, что нужно повторить действия со степенями из элементарной (школьной) математики.

    Пример 3. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

    Решение. Положим , откуда и .

    Тогда , в свою очередь .

    Заменяем переменную и получаем:

    где степени при t складываются. Продолжаем преобразования и получаем:

    Приводим дроби к общему знаменателю и возвращаемся к переменной x. Решаем и получаем ответ:

    Решение системы из четырех уравнений по системе крамера.

    Пример 4. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

    Пример 5. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

    Метод замены переменной в неопределённом интеграле

    Пример 6. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

    Найти площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см.

    Пример 7. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

    Решение. Положим , откуда , , .

    Заменяем переменную и получаем:

    Возвращаясь к переменной х, получаем ответ:

    Пример 8. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

    Решение. Положим , откуда , .

    Заменяем переменную и получаем:

    Подставляя вместо t его выражение через x получаем ответ:

    Кому лишь смутно понятно или совсем не понятно, как преобразуются выражения в примере 5, пожалуйста, повторите из курса элементарной (школьной) математики действия с корнями, степенями и дробями!

    И если вы ещё не открыли в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями, то сделайте это сейчас!

    Пример 9. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

    Решение. Положим , тогда
    .

    Заменяем переменную и получаем:

    Решение с переменной t получено с использованием формулы 21 из таблицы интегралов.

    Подставляя вместо t его выражение через x получаем ответ:

    Существует ли треугольник со сторонами а 1м 2м и 3м.

    На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный интеграл. Примеры решений, где я объяснил в доступной форме, что такое интеграл и подробно разобрал базовые примеры для начинающих.

    Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:

    – Подведение функции под знак дифференциала;
    – Собственно замена переменной.

    По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному.

    Начнем с более простого случая.

    Решение уравнений с введением новой переменной 8 класс.

    На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил:

    То есть, раскрыть дифференциал – это формально почти то же самое, что найти производную.

    Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

    Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?

    Раскрывая дифференциал, легко проверить, что:

    Фактически и – это запись одного и того же.

    Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: ? Почему так, а не иначе?

    Формула (и все другие табличные формулы) справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной , но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ ( – в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ.

    Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: «Мне надо решить интеграл . Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу . Но у меня сложный аргумент и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу , тогда . Но в исходном интеграле множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо ее домножить на ». В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:

    Единственное отличие, у нас не буква «икс», а сложное выражение .

    Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ:

    Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

    Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции . По сути дела подведение функции под знак дифференциала и – это два взаимно обратных правила.

    Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

    Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: .

    Подводим функцию под знак дифференциала:

    Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на .
    Далее используем табличную формулу :

    Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

    Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

    Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

    Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

    При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:

    В конце данного параграфа хотелось бы еще остановиться на «халявном» случае, когда в линейной функции переменная входит с единичным коэффициентом, например:

    Строго говоря, решение должно выглядеть так:

    Как видите, подведение функции под знак дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что . Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку интеграла в таблице вообще-то нет.

    Дан треугольник постройте его медиану с помощью циркуля.

    Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.

    Найти неопределенный интеграл.

    В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.

    Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.
    В данном случае напрашивается:
    Вторая по популярности буква для замены – это буква .
    В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

    Итак:
    Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
    Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

    Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.

    После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко:
    Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :

    В итоге:
    Таким образом:

    В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

    Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

    Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.

    Также всем рекомендую использовать математический знак вместо фразы «из этого следует это». И коротко, и удобно.

    При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

    Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.

    А теперь самое время вспомнить первый способ решения:

    В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче.

    Найти неопределенный интеграл.

    Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)

    Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл.

    Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:

    Другое дело, что такое решение очевидно далеко не для всех студентов. Кроме того, уже в этом примере использование метода подведения функции под знак дифференциала значительно повышает риск запутаться в решении.

    Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

    Найти неопределенный интеграл.

    Замена:
    Осталось выяснить, во что превратится

    Найти неопределенный интеграл.

    Найти неопределенный интеграл.

    Наверняка некоторые обратили внимание, что в моей справочной таблице нет правила замены переменной. Сделано это сознательно. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде.

    Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функция и её производная : (функции , могут быть и не в произведении)

    В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.

    В рассматриваемом примере замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за знаменатель, то велики шансы, что числитель превратится во что-нибудь хорошее.

    Кстати, здесь не так сложно подвести функцию под знак дифференциала:

    Следует отметить, что для дробей вроде , такой фокус уже не пройдет (точнее говоря, применить нужно будет не только прием замены). Интегрировать некоторые дроби можно научиться на уроке Интегрирование некоторых дробей.

    Вот еще пара типовых примеров для самостоятельного решения из той же оперы:

    Найти неопределенный интеграл.

    Найти неопределенный интеграл.

    Решения в конце урока.

    Найти неопределенный интеграл.

    Смотрим в таблицу производных и находим наш арккосинус: . У нас в подынтегральном выражении находится арккосинус и нечто похожее на его производную.

    Общее правило:
    За обозначаем саму функцию (а не её производную).

    В данном случае: . Осталось выяснить, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения .

    В этом примере нахождение я распишу подробно поскольку – сложная функция.

    Или короче:
    По правилу пропорции выражаем нужный нам остаток:

    Вот здесь подвести функцию под знак дифференциала уже не так-то просто.

    Найти неопределенный интеграл.

    Пример для самостоятельного решения. Ответ совсем близко.

    Внимательные читатели заметили, что я рассмотрел мало примеров с тригонометрическими функциями. И это не случайно, поскольку под интегралы от тригонометрических функций отведён отдельный урок. Более того, на указанном уроке даны некоторые полезные ориентиры для замены переменной, что особенно актуально для чайников, которым не всегда и не сразу понятно, какую именно замену нужно проводить в том или ином интеграле. Также некоторые типы замен можно посмотреть в статье Определенный интеграл. Примеры решений.

    Более опытные студенты могут ознакомиться с типовой заменой в интегралах с иррациональными функциями. Замена при интегрировании корней является специфической, и её техника выполнения отличается от той, которую мы рассмотрели на этом уроке.

    Решения и ответы:

    Пример 3: Решение:

    Пример 4: Решение:

    Пример 7: Решение:

    Пример 9: Решение:

    Пример 11: Решение:

    Проведем замену:

    Пример 12: Решение:

    Проведем замену:

    Пример 14: Решение:

    Проведем замену:

    Аналитическая геометрия прямая и плоскость примеры решения задач.

    Как с помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции.

    С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.

    Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x , переходим к другой переменной, которую обозначим как t . При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x ( t ) , или t = t ( x ) . Например, x = ln t , x = sin t , t = 2 x + 1 , и т. п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t , чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.

    Основная формула замены переменной

    Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f ( x ) и дифференциала dx : . Пусть мы переходим к новой переменной t , выбрав некоторое соотношение x = x ( t ) . Тогда мы должны выразить функцию f ( x ) и дифференциал dx через переменную t .

    Чтобы выразить подынтегральную функцию f ( x ) через переменную t , нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x ( t ) .

    Преобразование дифференциала выполняется так:
    .
    То есть дифференциал dx равен произведению производной x по t на дифференциал dt .

    На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t ( x ) . Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде
    ,
    где t′ ( x ) – это производная t по x , то
    .

    Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.
    (1) ,
    где x – это функция от t .
    (2) ,
    где t – это функция от x .

    Важное замечание

    В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x . Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое либо выражение.

    В качестве примера рассмотрим табличный интеграл
    .

    Здесь x можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:
    ;
    ;
    .

    В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x , дифференциал преобразуется следующим образом:
    .
    Тогда
    .

    В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что
    .
    После чего интеграл сводится к табличному.
    .

    Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2). Положим t = x 2 + x . Тогда
    ;
    ;

    Примеры интегрирования заменой переменной

    1) Вычислим интеграл
    .
    Замечаем, что (sin x )′ = cos x . Тогда

    2) Вычислим интеграл
    .
    Замечаем, что . Тогда

    3) Проинтегрируем
    .
    Замечаем, что . Тогда

    Линейные подстановки

    Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида
    t = ax + b ,
    где a и b – постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением
    .

    Примеры интегрирования линейными подстановками

    B) Найти интеграл
    .
    Решение.
    Воспользуемся свойствами показательной функции.
    .
    ln 2 – это постоянная. Вычисляем интеграл.

    C) Вычислить интеграл
    .
    Решение.
    Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.
    .
    Вычисляем интеграл.

    D) Найти интеграл
    .
    Решение.
    Преобразуем многочлен под корнем.

    Использованная литература:
    Н. М. Гюнтер, Р. О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

    Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 06-09-2015

    Найдите площадь треугольника abc если известно медиана cd образует.

    { Comments are closed }