Browsing: Геометрия 7-9 класс

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y 4 x 2 y x 2

Находим точки пересечения этих кривых:

Решаем кв. уравнение

Ищем первообразную от первой кривой:

Находим первообразные в точках -2 и 1

Значение функции в точках -2 и 1

Тоже самое, потому что это точки пересечения графиков.

Площадь треугольника под графиком функции y=2+x

Установить при каком значении х равны значения выражений.

Bc ac ec mb o точка пересечения медиан треугольника abc mc 30мм me 20мм.

Как определять знаки производной функции на отрезке.

Найдем точки пересечения функций:

x12 =(5 +- √(25 — 16)) / 2 = (5 +- 3) /2

Площадь фигуры S ограниченная графиками функций будет равна разности интегралов:

S = ∫( 5x — 4) * dx|-1;4 — ∫x^2 *dx|-1;4 = (5/2 * x^2 — 4x)|-1;4 — 1/3 * x^3|-1;4 = (40 — 16) — (-5/2 +4) — (- 64/3 + 1/3) = 20 + 2,5 — 21 = 1,5.

Решение задач по прикладной механике по статике.

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y 4 x 2 y x 2

Площадь вычисляется через определённый интеграл.

Найдём пределы интегрирования.

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y 4 x 2 y x 2

График функции у = 4-x² — квадратная парабола, с вершиной в точке А(0;4) и пересекающая ось х в точках х =-2 и х = 2.

Верхний предел интегрирования сразу становится ясен: это х = 2.

Нижний предел задан: это х = 1

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y 4 x 2 y x 2

Интегрируем ∫(4-x²)dx = 4x — x³/3

S = 4·2 — 8/3 — (4·1 — 1/3) = 8 — 8/3 — 4 + 1/3 = 4 — 7/3 = 5/3

{ Comments are closed }

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равно 352°.Найдите меньший угол трапеции

Периметр четырехугольника описанного около окружности равен 24 две его стороны равны 5 и 6.

Трапецией называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. У трапеции сумма четырех всех углов равна триста шестьдесят градусов. Равнобедренной трапецией называется трапеция, у которой равны боковые стороны. При основании равнобедренной трапеции углы равны. Ответим на вопрос задачи.

1). Найдем чему равна градусная мера меньшего угла трапеции.

(360 — 352) / 2 = 8 / 2 = 4 градуса.

Ответ: Меньший угол равнобедренной трапеции равен четыре градуса.

Прямоугольная трапеция высота опущенная из прямого угла.

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равно 352°.Найдите меньший угол трапеции

29 января Новый сервис учителю: работа над ошибками кратко / полно

25 января Открыли новый раздел Итоговое собеседование
авторские материалы Т. Н. Стаценко (Кубань)

25 января Проверьте! Кнопка «Русский язык» в верхнем меню работает в двух режимах.

Наша группа Вконтакте
Мобильные приложения:

Две сходные стороны подобных треугольников равны 2 см и 5.

360-352=8
сумма 2 остальных углов = 8
Меньший угол: 8/2=4

Сумма всех углов трапеции равна 360 градусов. Так как трапеция равнобедренная, то углы, прилежащие к каждому основанию равны.
так как 360 — 148 = 212 то углы, составляющие сумму 148 равны между собой. 148 делим на 2 = 74 градуса
Ответ: меньший угол равен 74 градуса

Объясните значение фразеологических выражений и крылатых слов ахиллесова.

Решить уравнение ( 6 — 8 )
1) 3 x + 2 = 14 x — 75 =
2) 2 x — 1 = 3 x + 99 =
3) — x + 11 — 4 x = — x + 10 x + 11 =
4) 3 x — 12 — x = — x + 2 x — 12 =
5) 5 x — 0, 23 + 17 = — 17 — 0, 23 x =
6) 0, 77 x — 2 x + 13 = — 13 + 0, 77 x =
заранее спасибо! 🙂

Найдите площадь прямоугольного треугольника если его катет и гипотенуза равны соответственно 30 и 34.

{ Comments are closed }

Площадь правильной четырехугольной пирамиды

Исследование тригонометрических функций на экстремум функцию.

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат со стороной a , боковыми гранями являются четыре равнобедренных треугольника с основанием a и равными бедрами b .

Площадь правильной четырехугольной пирамиды равна сумме площадей основания — квадрата пирамиды и площади четырех треугольников боковых граней.

Найти площадь фигуры ограниченную данными линиями.

Площадь поверхности пирамиды. В этой статье мы рассмотрим с вами задачи с правильными пирамидами. Напомню, что правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.

Боковая грань такой пирамиды это равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведенная из вершины правильной пирамиды, называется апофемой, SF – апофема:

В представленном ниже типе задач требуется найти площадь поверхности всей пирамиды или площадь её боковой поверхности. На блоге уже рассмотрено несколько задач с правильными пирамидами, где ставился вопрос о нахождении элементов (высоты, ребра основания, бокового ребра), можете посмотреть .

В заданиях ЕГЭ, как правило, рассматриваются правильные треугольные, четырёхугольные и шестиугольные пирамиды. Задач с правильными пятиугольными и семиугольными пирамидами не встречал.

Формула площади всей поверхности проста — требуется найти сумму площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности:

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:

*Боковая поверхность состоит из четырёх равных по площади треугольников. Основание пирамиды это квадрат.

Площадь боковой стороны пирамиды можем вычислить воспользовавшись формулой Герона :

Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна:

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 22, боковые ребра равны 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник.

Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из шести площадей равных треугольников с сторонами 61,61 и 22:

Найдём площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона:

Площадь правильной четырехугольной пирамиды

Таким образом, площадь боковой поверхности равна:

*В представленных выше задачах площадь боковой грани можно было найти используя другую формулу треугольника, но для этого нужно вычислить апофему.

27155. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Для того, чтобы найти площадь поверхности пирамиды нам необходимо знать площадь основания и площадь боковой поверхности:

Площадь основания равна 36, так как это квадрат со стороной 6.

Боковая поверхность состоит из четырёх граней, которые являются равными треугольниками. Для того, чтобы найти площадь такого треугольника требуется знать его основание и высоту (апофему):

*Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты проведённой к этому основанию.

Основание известно, оно равно шести. Найдём высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник (он выделен жёлтым):

Один катет равен 4, так как это высота пирамиды, другой равен 3, так как он равен половине ребра основания. Можем найти гипотенузу, по теореме Пифагора:

Значит площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Таким образом, площадь поверхности всей пирамиды равна:

27069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

27070. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Существуют ещё формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды. В правильной пирамиде основание является ортогональной проекцией боковой поверхности, поэтому:

где φ — двугранный угол при основании

Отсюда площадь полной поверхности правильной пирамиды может быть найдена по формуле:

Еще одна формула боковой поверхности правильной пирамиды:

P — периметр основания, l — апофема пирамиды

*Эта формула основывается на формуле площади треугольника.

Если хотите узнать подробнее как эти формулы выводятся, не пропустите, следите за публикацией статей. На этом всё. Успеха Вам!

Решение задач на тему подобия треугольников 8 класс.

Полная площадь боковой поверхности пирамиды состоит из суммы площадей его боковых граней.

Если по условиям даны длина ребра c правильной пирамиды и длина стороны основания a , то можно найти значение по следующей формуле:

Мы показали расчеты площади одной боковой грани для правильной пирамиды. Соответственно. Чтобы найти площадь всей поверхности необходимо умножить результат на количество граней, то есть на 4. Если пирамида произвольная и ее грани не равны между собой, то рассчитать площадь необходимо для каждой отдельной стороны. Если в основании лежит прямоугольник или параллелограмм, то стоит вспомнить их свойства. Стороны у этих фигур попарно параллельны, а соответственно грани пирамиды будут также попарно одинаковы.
Формула площади основания четырехугольной пирамиды напрямую зависит от того, какой четырехугольник лежит в основании. Если пирамида правильная, то площадь основания рассчитывается по формуле площади квадрата, если в основании лежит ромб, то потребуется вспомнить, как находится площадь ромба. Ели же в основании лежит прямоугольник, то найти его площадь будет довольно просто. Достаточно знать длины сторон основания. Рассмотрим пример расчета площади основания четырехугольной пирамиды.

{ Comments are closed }

8. Один конус получен вращением неравнобедренного прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, а другой конус — вращением вокруг другого катета. Равны ли объемы этих конусов?

8. Один конус получен вращением неравнобедренного прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, а другой конус — вращением вокруг другого катета. Равны ли объемы этих конусов?

Конус 2: радиус основания b; высота а;

Выделите её мышкой и нажмите CTRL + ENTER

Большое спасибо всем, кто помогает делать сайт лучше! =)

I решение задач по геометрии 9 класс погорелов.

Графики функций y kx+b установите соответствие.

В прямой параллелепипед вписана сфера площадь поверхности которой равна.

8. Один конус получен вращением неравнобедренного прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, а другой конус — вращением вокруг другого катета. Равны ли объемы этих конусов?

Пусть катеты этого треугольника равны a и b. Тогда объем одного конуса равен

V1=П a^2*b (а — это радиус, b — высота). Объем другого конуса: V2=П b^2*a (b — это радиус, а — высота) Так как а и b не равны , то объемы тоже не равны

В треугольнике высота биссектриса и медиана делят угол на 4 равных угла.

Вопросы к главе VII → номер 8

8. Один конус получен вращением неравнобедренного прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, а другой конус — вращением вокруг другого катета. Равны ли объемы этих конусов?

Конус 1: обозначим радиус основания а; высота b. Тогда объем равен:

{ Comments are closed }

Пожалуйста! найди значения выражений 70-b и b+8 при b=32, b=34, b=46, b=68

Площадь треугольника через координаты вершины в пространстве.

Пожалуйста! найди значения выражений 70-b и b+8 при b=32, b=34, b=46, b=68

вопрос опубликован 08.04.2017 00:29:11

Если b=32, то
70-32=38
32+8=40

70-b
если b=32, то 70-b=70-32=38;
если b=34, то 70-b=70-34=36;
если b=46, то 70-b=70-46=24;
если b=68, то 70-b=70-68=2.

Если сомневаешься в правильности ответа или его просто нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие вопросы по предмету Математика либо задай свой вопрос и получи ответ в течении нескольких минут.

Площадь круга равна 4п найти длину его окружности.

Дано: квадрат; Р= 28 см; Найти: а-? S-? Решение: Периметр квадрата равен сумме 4-х длин его сторон. P=a+a+a+a=4*a. 4a=28 a=28:4=7см — длина стороны квадрата. Чтобы найти площадь квадрата, нужно его длину умножить на длину. Или площадь квадрата равна квадрату длины его.

Прямые содержащие боковые стороны трапеции пересекаются под прямым углом.

Ответ оставил Гость

70-b при b=32.34.46.68 b+8 при b=32,34,46,68

Если тебя не устраивает ответ или его нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету Математика.

Обществознание, опубликовано 13 часов назад

Другие предметы, опубликовано 14 часов назад

Другие предметы, опубликовано 14 часов назад

Построить угол 16 градусов с помощью циркуля и линейки.

Графические методы решения уравнений и систем уравнений.

Ответ оставил Гость

70-b при b=32.34.46.68 b+8 при b=32,34,46,68

Если тебя не устраивает ответ или его нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету Математика.

Обществознание, опубликовано 13 часов назад

Другие предметы, опубликовано 14 часов назад

Другие предметы, опубликовано 14 часов назад

Как найти сторону равнобедренного треугольника если известна площадь.

Нахождение площади по координатам вершин формула.

A) 70-b при b = 32 70-b=38, при b=46 70-b=24, при b=68 70-b=2

Б) b+8 при b=32 b+8=40, при b=46 b+8=54, при b=68 b+8=76

График функции y 3x 4 является касательной к графику функции.

Огэ 2016 года по математике 9 класс ященко с решением.

№11 Расставь порядок действий, найди значение выражения : 300100 — 151200 : 400 * (287854 * 406) =

№14 Расставь порядок действий, найди значение выражения : 730 * (14768 : 26 +74022 : 13) =

№15 расставь порядок действий, найди значение выражения : 6624702 :78 + 103 * (600200 — 594976) =

2) Найди значения выражения b:c при b=7569 и c=3; b=345365 и c=5.

Б)произведение разности а и и суммы произведений и и х и у. Составьте выражение для решения задачи: Найдите площадь прямоугольника, длина которого х см, а ширина в 3 раза меньше. Найдите значение выражения при х=54

Найди значения выражения b:c при b=7569 и c=3; b=345365 и c=5.

=28 и 33б)за один рейс автомашина маз-25 перевозит 25 т груза сколько груза она перевезёт за R рейсов? найдите значение выражения при R=10 , 5 ,0

График функции y kx b параллелен оси абсцисс и проходит через точку.

решение
a) 70-b при b = 32 70-b=38, при b=46 70-b=24, при b=68 70-b=2
б) b+8 при b=32 b+8=40, при b=46 b+8=54, при b=68 b+8=76

Как найти 3 сторону треугольника по 2 сторонам.

Решение задач по программированию на языке паскаля.

№11 Расставь порядок действий, найди значение выражения : 300100 — 151200 : 400 * (287854 * 406) =

2) Найди значения выражения b:c при b=7569 и c=3; b=345365 и c=5.

б)произведение разности а и и суммы произведений и и х и у. Составьте выражение для решения задачи: Найдите площадь прямоугольника, длина которого х см, а ширина в 3 раза меньше. Найдите значение выражения при х=54

Найди значения выражения b:c при b=7569 и c=3; b=345365 и c=5.

=28 и 33б)за один рейс автомашина маз-25 перевозит 25 т груза сколько груза она перевезёт за R рейсов? найдите значение выражения при R=10 , 5 ,0

{ Comments are closed }

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение

Одна сторона треугольника в 2 раза меньше второй стороны.

Критерии оптимальности в задачах принятия решений в условиях риска.

В реальных системах всегда существуют некоторые силы сопротивления, препятствующие развитию колебательных процессов. Для установления характера колебательного движения в этом случае будем считать, что наряду с упругой или квазиупругой силой Fy в системе действует сила трения, пропорциональная скорости и направленная противоположно ей: Fтр = . Тогда учет влияния этих двух сил на характер движения приводит к следующему дифференциальному уравнению:

Разделив левую и правую части уравнения (8) на m , обозначив r/m = 2b и сохранив обозначение к/m = w0 2 , приведем это уравнение к виду:

Решение этого уравнения имеет вид:

Формула (10) представляет собой смещение при затухающем колебании как функцию времени и параметров системы b и w. Коэффициент b = r/2m имеет смысл коэффициента затухания. Из формулы (10) видно, что в затухающих колебаниях амплитуда уменьшается со временем. Причем, колебания затухают тем быстрее, чем больше коэффициент затухания b. По сравнению с гармоническими колебаниями уменьшается также и циклическая частота колебаний w. Это уменьшение зависит от коэффициента затухания. Оказывается, что

Колебательный процесс может происходить лишь при условии: (w0 2 — b 2 )>0, когда частота w в формуле (11) является действительной величиной . Если же затухание в системе слишком велико (w0

Натуральный логарифм этого отношения, называемый логарифмическим декрементом затухания l, весьма просто связан с коэффициентом затухания и периодом:

Удобство использования логарифмического декремента затухания l для характеристики затухающих колебаний заключается в простоте его экспериментального определения. Если затухающие колебания зарегистрированы в виде соответствующего графика (см. рис.2), то необходимо в любых единицах измерить две амплитуды колебаний, разделенные интервалом времени, равным периоду, и найти натуральный логарифм их отношения. Определив таким образом величину l и зная период Т , легко найти и коэффициент затухания b .

Математика периметр прямоугольника решение задачи.

1.21. 3АТУХАЮЩИЕ, ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность колебательной системы. Апериодический процесс. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Процесс установления колебаний. Случай резонанса. Автоколебания.

Затуханием колебаний называется постепенное уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Собственные колебания без затухания – это идеализация. Причины затухания могут быть разные. В механической системе к затуханию колебаний приводит наличие трения. Когда израсходуется вся энергия, запасенная в колебательной системе, колебания прекратятся. Поэтому амплитуда затухающих колебаний уменьшается, пока не станет равной нулю.

Затухающие колебания, как и собственные, в системах, разных по своей природе, можно рассматривать с единой точки зрения – общих признаков. Однако, такие характеристики, как амплитуда и период, требуют переопределения, а другие – дополнения и уточнения по сравнению с такими же признаками для собственных незатухающих колебаний. Общие признаки и понятия затухающих колебаний следующие:

Дифференциальное уравнение должно быть получено с учетом убывания в процессе колебаний колебательной энергии.

Уравнение колебаний – решение дифференциального уравнения.

Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени.

Частота и период зависят от степени затухания колебаний.

Фаза и начальная фаза имеют тот же смысл, что и для незатухающих колебаний.

Механические затухающие колебания.

Механическая система: пружинный маятник с учетом сил трения.

Силы, действующие на маятник:

Упругая сила. , где k – коэффициент жесткости пружины, х – смещение маятника от положения равновесия.

Сила сопротивления. Рассмотрим силу сопротивления, пропорциональную скорости v движения (такая зависимость характерна для большого класса сил сопротивления): . Знак “минус” показывает, что направление силы сопротивления противоположно направлению скорости движения тела. Коэффициент сопротивления r численно равен силе сопротивления, возникающей при единичной скорости движения тела:

Закон движения пружинного маятника – это второй закон Ньютона:

Учитывая, что и , запишем второй закон Ньютона в виде:

Разделив все члены уравнения на m, перенеся их все в правую часть, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

Обозначим , где β коэффициент затухания, , где ω0 – частота незатухающих свободных колебаний в отсутствии потерь энергии в колебательной системе.

В новых обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Это линейное дифференциальное уравнение решается заменой переменных. Представим функцию х, зависящую от времени t, в виде:

Найдем первую и вторую производную этой функции от времени, учитывая, что функция z также является функцией времени:

Подставим выражения в дифференциальное уравнение:

Приведем подобные члены в уравнении и сократим каждый член на , получим уравнение:

Решением уравнения являются функции , .

Возвращаясь к переменной х, получим формулы уравнений затухающих колебаний:

Таким образом, уравнение затухающих колебаний есть решение дифференциального уравнения (21.2):

Частота затухающих колебаний:

(физический смысл имеет только вещественный корень, поэтому ).

Период затухающих колебаний:

Смысл, который вкладывался в понятие периода для незатухающих колебаний, не подходит для затухающих колебаний, так как колебательная система никогда не возвращается в исходное состояние из-за потерь колебательной энергии. При наличии трения колебания идут медленнее: .

Периодом затухающих колебаний называется минимальный промежуток времени, за который система проходит дважды положение равновесия в одном направлении.

Для механической системы пружинного маятника имеем:

Амплитуда затухающих колебаний:

, для пружинного маятника .

Амплитуда затухающих колебаний – величина не постоянная, а изменяющаяся со временем тем быстрее, чем больше коэффициент β. Поэтому определение для амплитуды, данное ранее для незатухающих свободных колебаний, для затухающих колебаний надо изменить.

При небольших затуханиях амплитудой затухающих колебаний называется наибольшее отклонение от положения равновесия за период.

Графики зависимости смещения от времени и амплитуды от времени представлены на Рисунках 21.1 и 21.2.

Рисунок 21.1 – Зависимость смещения от времени для затухающих колебаний.

Рисунок 21.2 – Зависимости амплитуды от времени для затухающих колебаний

Характеристики затухающих колебаний.

Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону:

Пусть за время τ амплитуда колебаний уменьшится в “e ” раз (“е” – основание натурального логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны, , а с другой стороны, расписав амплитуды Азат.(t) и Азат.(t+τ), имеем . Из этих соотношений следует βτ = 1, отсюда .

Промежуток времени τ, за который амплитуда уменьшается в “е” раз, называется временем релаксации.

Коэффициент затухания β – величина, обратно пропорциональная времени релаксации.

2. Логарифмический декремент затухания δ — физическая величина, численно равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих по времени на период .

Если затухание невелико, т. е. величина β мала, то амплитуда незначительно изменяется за период, и логарифмический декремент можно определить так:

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение

где Азат.(t) и Азат.(t+NT) – амплитуды колебаний в момент времени е и через N периодов, т. е.в момент времени (t + NT).

3. Добротность Q колебательной системы – безразмерная физическая величина, равная произведению величины (2π) νа отношение энергии W(t) системы в произвольный момент времени к убыли энергии за один период затухающих колебаний:

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то

При малых значениях логарифмического декремента δ добротность колебательной системы равна

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение

где Ne – число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в “е” раз.

Так, добротность пружинного маятника -.Чем больше добротность колебательной системы, тем меньше затухание, тем дольше будет длиться периодический процесс в такой системе. Добротность колебательной системы — безразмерная величина, которая характеризует диссипацию энергии во времени.

4. При увеличении коэффициента β, частота затухающих колебаний уменьшается, а период увеличивается. При ω0 = β частота затухающих колебаний становится равной нулю ωзат. = 0, а Тзат. = ∞. При этом колебания теряют периодический характер и называются апериодическими.

При ω0 = β параметры системы, ответственные за убывание колебательной энергии, принимают значения, называемые критическими. Для пружинного маятника условие ω0 = β запишется так: , откуда найдем величину критического коэффициента сопротивления:

Рис. 21.3. Зависимсть амплитуды апериодических колебаний от времени

Все реальные колебания являются затухающими. Чтобы реальные колебания происходили достаточно долго нужно периодически пополнять энергию колебательной системы, действуя на нее внешней периодически изменяющейся силой

Рассмотрим явление колебаний, если внешняя (вынуждающая) сила изменяется в зависимости от времени по гармоническому закону. При этом в системах возникнут колебания, характер которых в той или иной мере повторит характер вынуждающей силы. Такие колебания называются вынужденными.

Общие признаки вынужденных механических колебаний.

1. Рассмотрим вынужденные механические колебаний пружинного маятника, на который действует внешняя (вынуждающая) периодическая сила . Силы, которые действуют на маятник, однажды выведенный из положения равновесия, развиваются в самой колебательной системе. Это сила упругости и сила сопротивления .

Закон движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом:

Разделим обе части уравнения на m, учтем, что , и получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

Обозначим (β коэффициент затухания), (ω0 – частота незатухающих свободных колебаний), сила, действующая на единицу массы. В этих обозначениях дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:

Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, отличной от нуля. Решение такого уравнения есть сумма двух решений

–общее решение однородного дифференциального уравнения, т. е. дифференциального уравнения без правой части, когда она равна нулю. Такое решение нам известно – это уравнение затухающих колебаний, записанное с точностью до постоянной, значение которой определяется начальными условиями колебательной системы:

Мы обсуждали ранее, что решение может быть записано через функции синуса.

Если рассматривать процесс колебаний маятника через достаточно большой промежуток времени Δt после включения вынуждающей силы (Рисунок 21.2), то затухающие колебания в системе практически прекратятся. И тогда решением дифференциального уравнения с правой частью будет решение .

Решение — это частное решение неоднородного дифференциального уравнения, т. е. уравнения с правой частью. Из теории дифференциальных уравнений известно, что при правой части, изменяющейся по гармоническому закону, решение будет гармонической функцией (sin или cos) с частотой изменения, соответствующей частоте Ω изменения правой части:

где Аампл. – амплитуда вынужденных колебаний, φ0сдвиг фаз, т. е. разность фаз между фазой вынуждающей силы и фазой вынужденных колебаний. И амплитуда Аампл., и сдвиг фаз φ0 зависят от параметров системы (β, ω0) и от частоты вынуждающей силы Ω.

Период вынужденных колебаний равен (21.9)

График вынужденных колебаний на Рисунке 4.1.

Рис.21.3. График вынужденных колебаний

Установившиеся вынужденные колебания являются так же гармоническими.

Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз от частоты внешнего воздействия. Резонанс.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение

1. Вернемся к механической системе пружинного маятника, на который действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Для такой системы дифференциальное уравнение и его решение соответственно имеют вид:

Проанализируем зависимость амплитуды колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы, для этого найдем первую и вторую производную от х и подставим в дифференциальное уравнение.

Воспользуемся методом векторной диаграммы. Из уравнения видно, что сумма трех колебаний в левой части уравнения (Рисунок 4.1) должна быть равна колебанию в правой части. Векторная диаграмма выполнена для произвольного момента времени t. Из нее можно определить .

Учитывая значение , , , получим формулы для φ0 и Аампл. механической системы:

2. Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы и величины силы сопротивления в колеблющейся механической системе, по этим данным построим график . Результаты исследования отражены в Рисунке 21.5, по ним видно, что при некоторой частоте вынуждающей силы амплитуда колебаний резко возрастает. И это возрастание тем больше, чем меньше коэффициент затухания β. При амплитуда колебаний становится бесконечно большой .

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при частоте вынуждающей силы, равной , называется резонансом.

Кривые на Рисунке 21.5 отражают зависимость и называются амплитудными резонансными кривыми.

Рисунок 21.5 – Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.

Амплитуда резогансных колебаний примет вид:

Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах – автоколебаниями.

В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента – колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).

Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 21.6 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.

Рисунок 21.6. Функциональная схема автоколебательной системы.

Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 21.7.). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник – балансиром – маховичком, скрепленным со спиральной пружиной.

Рисунок 21.7. Часовой механизм с маятником.

Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии – поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод.

Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.

Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.

Решение задач как интеллектуальная деятельность.

Решением уравнения (7.7) является функция: U = A o cos ( ω t + ϕ )

Тогда решением уравнения (7.1) является функция

S = e − δ t U = A 0 e − δ t cos( ω t + ϕ ) ,

если затухание мало, ( δ 2 1/ δ = τ

Затухающие колебания не являются строго периодическими, и понятие периода можно вво-

дить только при малых затуханиях, как промежуток времени между двумя последующими максимумами или минимумами колеблющейся физической величины.

{ Comments are closed }

Доказать что высота равнобедренного треугольника проведенная к основанию является медианой и биссектрисой

Доказать, что высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

Сэмиэл 26.05.2013

Метод ньютона решения нелинейного уравнения в паскале.

в равнобедренном треугольнике высота проведённая к основанию является и медианой и бессектрисой. Доказательство: Из равенства треугольников ABD И ACD следует, что BD=DС. Равенство означает что точка D-середина стороны BC И поэтому AD-медиана. Так как углы 3 и 4 смежные и равны то они прямые. Следовательно отрезок AD яв-ся высотой

Урок математики в 5 классе решение уравнений фгос.

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Решение задач по математике петерсон 5 класс 1 часть.

Найти производные dy dx данных функций примеры решения.

Свойства равнобедренного треугольника выражают следующие теоремы.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Докажем одну из них, например теорему 2.5.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС и докажем, что ∠ В = ∠ С. Пусть AD — биссектриса треугольника ABC (рис.1). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD — общая сторона, ∠ 1 = ∠ 2, так как AD — биссектриса). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ С. Теорема доказана.

С использованием теоремы 1 устанавливается следующая теорема.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).

Замечание. Предложения, установленные в примерах 1 и 2, выражают свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Из этих предложений следует, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Пример 1. Доказать, что точка плоскости, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Решение. Пусть точка М равноудалена от концов отрезка АВ (рис. 3), т. е. AM = ВМ.

Тогда Δ АМВ равнобедренный. Проведем через точку М и середину О отрезка АВ прямую р. Отрезок МО по построению есть медиана равнобедренного треугольника АМВ, а следовательно (теорема 3), и высота, т. е. прямая МО, есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Пример 2. Доказать, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

Решение. Пусть р — серединный перпендикуляр к отрезку АВ и точка О — середина отрезка АВ (см. рис. 3).

Рассмотрим произвольную точку М, лежащую на прямой р. Проведем отрезки AM и ВМ. Треугольники АОМ и ВОМ равны, так как у них углы при вершине О прямые, катет ОМ общий, а катет ОА равен катету ОВ по условию. Из равенства треугольников АОМ и ВОМ следует, что AM = ВМ.

Пример 3. В треугольнике ABC (см. рис. 4) АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 7 см; в треугольнике DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.

Сравнить треугольники ABC и DEF. Найти соответственно равные углы.

Решение. Данные треугольники равны по третьему признаку. Соответственно равные углы: А и Е (лежат против равных сторон ВС и FD), В и F (лежат против равных сторон АС и DE), С и D (лежат против равных сторон АВ и EF).

Пример 4. На рисунке 5 АВ = DC, ВС = AD, ∠B = 100°.

Решение. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Они равны по третьему признаку (АВ = DC, ВС = AD по условию и сторона АС — общая). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ D, но угол В равен 100°, значит, и угол D равен 100°.

Пример 5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.

Программы для решения тригонометрических уравнений.

Дано: ∆АВС, АВ=ВС, ВО^АС(высота). Доказать,что ВО–медиана и биссектриса.

Доказательство: Рассмотрим ∆ABO и ∆CBO. У них:

AB = BC (по условию), ∠A = ∠С = х (углы при основании в равноб. ∆), ∠AВО = ∠СВО = 90 0 – х (по теореме о сумме углов в ∆).

Значит эти треугольники равны по 2 признаку. Следовательно, AO = OС, а значит BO – медиана.

Далее, ∠AВО = ∠СВО = 90 0 – х, значит BO – биссектриса. Ч. т.д.

3.В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен120 0,АС + АВ = 18см. Найти АС и АВ.

Доказать что высота равнобедренного треугольника проведенная к основанию является медианой и биссектрисой

Решение:В∆АВС:∠А= 180 0 –120 0 = 60 0 (смежные).

∠В = 180 0 – 90 0 – 60 0 = 30 0 (по теореме о сумме углов в ∆). Следовательно, катет лежащий напротив ∠В равен половине гипотенузы, т. е. АС = 1 2 АВ или АВ = 2АС.

По условию АС + АВ = 18см, значит АС + 2АС = 18см. Отсюда 3АС = 18см, АС = 6см. Тогда АВ = 2АС = 2*6 = 12см. Ответ: АС = 6см, ВС = 12см.

Билет. 21

1.Как построить середину отрезка. Смотри презентацию, слайд 7.

2. (п.25) Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 0 , то прямые параллельны.

Дано:прямые а и b, с – секущая, односторонние углы∠1 +∠4 = 180 0 .

Доказательство:∠1 +∠4 = 180 0 (по условию),∠3 +∠4 = 180 0 (смежные),следовательно ∠1 = ∠3, а это накрест лежащие углы, поэтому а||b. Ч. т.д.

3.В треугольниках АВС и МКЕ отрезки СО и ЕН медианы, ВС=КЕ,∠В=∠К и∠С=∠Е. Доказать, что∆АСО = ∆МЕН.

Доказательство:По условию:ВС=КЕ,∠В=∠К и∠С=∠Е, значит, ∆АВС = ∆МКЕ (по 2 признаку). Следовательно у этих треугольников равны соответственные стороны и углы, т. е. АВ = МК, а значит и АО = МН, ∠А = ∠М и АС = МЕ. Тогда ∆АСО = ∆МЕН (по 1 признаку).

Билет. 22

1. (п. 21) Окружность–геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки(центра). Равные отрезки, соединяющие центр с любой точкой окружности, называются радиусами. Любые 2 точки окружности делят её на 2 части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Круг–часть плоскости, лежащая внутри окружности.

Прямая, проходящая через две точки окружности, называется секущей, а ее отрезок, лежащий внутри окружности, — хордой. Хорда – это отрезок, соединяющий 2 точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, точку О, называется диаметром. Диаметр равен двум радиусам. Для изображения окружности на чертеже пользуются циркулем.

2. (п. 34) Свойства прямоугольных треугольников:

1 0 . Сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 0 .

Доказательство:В самом деле, сумма углов треугольника равна180 0,а т. к.прямой угол= 90 0,тосумма двух других углов в треугольнике = 90 0 .

2 0 . Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0 , равен половине гипотенузы.

Доказательство:Пусть в прямоугольном∆АСВ∠В=30°.Тогда другойего острый угол будет равен 60°. Докажем, что катет АС равен половине гипотенузы АВ.

Продолжим катет АС за вершину прямого угла С и отложим отрезок СМ, равный отрезку АС. Точку М соединим с точкой В. Полученный треугольник ВСМ равен треугольнику АСВ. Мы видим, что каждый угол треугольника АВМ равен 60°, следовательно, этот треугольник – равносторонний. Катет АС равен половине AM, а так как AM равняется АВ, то катет АС будет равен половине гипотенузы АВ. Ч. т.д.

3 0 . Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 0 .

3.Найти все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из нихравен 42 0 .

Решение:Пусть а ǀǀ b, с – секущая,∠1 = 42 0.Тогда∠3 =∠1 = 42 0 (вертикальные),

∠5 = ∠3 = 42 0 (накрест лежащие), ∠7 = ∠5 = 42 0 (вертикальные), ∠8 и ∠7 смежные,

значит ∠8 = 180 0 – ∠7 = 180 0 – 42 0 = 138 0 , ∠6 = ∠8 = 138 0 (вертикальные),

∠2 = ∠6 = 138 0 (соответственные), ∠4 = ∠2 = 138 0 (вертикальные).

Билет. 23

1. (п. 24)Две прямые называютсяпараллельными,если они лежат в однойплоскости и не пересекаются. Обозначение: m || n.

Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой параллельной прямой.

Все прямые, параллельные одной прямой, параллельны между собой. Принято считать, что угол между параллельными прямыми равен нулю. Все перпендикуляры к одной и той же прямой параллельны между собой.

Два отрезка называются параллельными,если они лежат на параллельных прямых.

2. (п.32) В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:Предположим, что это не так.

Тогда либо АВ = АС, либо АВ ∠В. Во втором случае получаем, что ∠С АС. Ч. т.д.

3.Найдите углы при основании МР равнобедренного∆МОР, если МК–его биссектриса и∠ОКМ= 96 0 .Решение:∠РКМ=180 0 –96 0 = 84 0 (смежный с∠ОКМ).

Пусть ∠КРМ = х, тогда ∠КМР = 0,5х, т. к. МК – биссектриса и ∠М = ∠Р (углы при основании в равноб. ∆). По теореме о сумме углов в ∆МКР:

х + 0,5х + 84 0 = 180 0.Отсюда, 1,5х = 96 0 , х = 64 0 .

Ответ:углы при основании равны64 0 .

Билет. 24

1. (п. 14) Треугольник–это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на однойпрямой, соединенных отрезками. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его

сторонами. Виды треугольников:

{ Comments are closed }

Презентация «Свойства биссектрисы угла» 8 класс

Код для использования на сайте:

Скопируйте этот код и вставьте себе на сайт

Для скачивания поделитесь материалом в соцсетях

После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.

На рисунке изображен график дифференцируемой функции y f x на оси.

Подписи к слайдам:

Исторически геометрия начиналась с треугольника, поэтому вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является символом геометрии.

Удивительно, но треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения — никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника.

C каждым треугольником связаны четыре точки:

• точка пересечения медиан;

• точка пересечения биссектрис;

• точка пересечения серединных перпендикуляров;

• точка пересечения высот.

Эти четыре точки называют замечательными точками треугольника.

Почему они «Замечательные»?

Это нам и предстоит узнать.

Свойство биссектрисы

  • Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.Обратно:
  • Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Дано: Доказательство: 1.Возьмём т. МЄAD. 2. Из т. М проведём МК и ML перпендикулярно AB и AC. 3. Рассмотрим Δ AKM и Δ AML. 4. Δ AKM = Δ AML, MK=ML

Следствие: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. 1. Построим биссектрисы АА₁, BB₁, CC₁. 2. Обозначим точку O – точку пересечения биссектрис. 3. Проведём OK, OL и OM-перпендикуляры к сторонам Δ ABC 4. По теореме: OK=OM=OL т. О Є СС₁ Следовательно, все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

№ 676 б. Cтороны угла А, равного 90°, касаются окружности с центром О и радиусом r, ОА = 14 дм. Найдите: r.

  • Проведём радиусы OP и OH из центра окружности в точки касания.
  • OP AP, OH AH

3. AO – биссектриса прямого угла А

  • Δ AOP – прямоугольный, равно – бедренный,

    №678 а – дополнительно.

    Оформить и решить самостоятельно.

    1. Учебник «Геометрия 7-9»; авт: Л. С.Атанасян, В. Ф.Бутузов, С. Б.Кадомцев, Э. Г.Позняк, И. И.Юдина. М., Просвещение, 2007г. 2. Рисунки треугольников:

    Через точку k стороны ab треугольника abc проведена прямая.

    Разработка представляет собой урок геометрии в 8 классе, первый из цикла уроков «Замечательные точки треугольника». Его тема — «Свойства биссектрисы угла». Урок сопровождается презентацией, в которой много дополнительного, интересного для учащихся материала. Реализуется практико-ориентированный деятельностный подход.

    Картинки прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

    Лисицына Татьяна Петровна

    учитель математики МБОУ СОШ №22 п. Пересыпь, Темрюкский район, Краснодарский край

    Урок геометрии в 8 классе

    «Свойство биссектрисы угла»

    по учебнику «Геометрия. 7-9 классы»,

    авторы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др.

    Тема: Свойство биссектрисы угла.

    1. Р ассмотреть теорему о свойстве биссектрисы угла и её следствие.

    2. Учить применять данные теоремы и следствие при решении задач.

    3. Формировать умения применять известные знания в незнакомой ситуации, сравнивать, анализировать, обобщать.

    4. Продолжать развивать познавательную активность, умение формулировать свои выводы и доказывать их.

    5. Воспитывать уверенность в себе, познавательный интерес.

    Оборудование: ПК, проектор, презентация, чертёжные инструменты, треугольные листы бумаги.

    I. Организационный момент. Объявление темы и постановка целей урока совместно с учащимися.

    II. Проверка домашнего задания.

    — Сегодня на уроке мы повторим материал темы «Треугольники», проверим ещё раз ваши знания.

    1. № 669 — решение на доске — 1 ученик.

    2. Решить устно по заготовленному рисунку:

    1) Докажите, что S АОС = S ВОС .

    Для того, чтобы начать изучение нового материала, нам придётся опереться на уже изученный материал. Какие линии в треугольнике вам известны? К числу линий, изучаемых в школьном курсе геометрии, относятся:

    • серединные перпендикуляры к сторонам треугольника.

    Повторение определений основных линий в треугольнике путём фронтальной беседы.

    III. Мотивация изучения материала (Слайд 3-10).

    В старших классах каждый школьник

    Три каких-то уголка,

    А работы на века.

    И опять треугольник! Треугольник в геометрии играет особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся или почти вся геометрия строится на треугольнике.

    Удивительно, но треугольник, несмотря на свою простоту, является неисчерпаемым объектом изучения — никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника. (Слайд 3).

    –А какие треугольники мы с вами рассматривали? (Слайд 4).

    Ожидаемые ответы: равнобедренный, равносторонний, тупоугольный, прямоугольный, остроугольный.

    –Сегодня мы с вами очень кратко ознакомимся с треугольниками, которые имеют своё собственное «имя», или носят имя того, кто их открыл или исследовал. (Слайд 4).

    • Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 применялся египтянами землемерами и архитекторами для построения прямых углов. Несмотря на возраст, это способ построения прямого угла активно используется строителями и теперь. (Слайд 4, 6).
    • Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. (Слайды 4, 7).
    • Треугольник Рёло — это геометрическая фигура, образованная пересечением трёх равных кругов одинакового радиуса с центрами в вершинах равностороннего треугольника. Сверло, сделанное на основе треугольника Рёло, позволяет сверлить квадратные отверстия (с неточностью в 2%). (Слайды 4, 8).
    • Один из самых загадочных и интересных треугольников – “Бермудский треугольник”. Еще это место называют аномальной зоной. На самом деле это место, которое традиционно считается самым ужасным, самым жутким местом планеты. Здесь бесследно исчезало множество кораблей и самолетов — большинство из них после 1945 года. Здесь погибло более тысячи человек. Однако при поисках никого и ничего не удалось обнаружить. Бермудский треугольник не имеет четких границ, нельзя найти на карте его точное обозначение. Разные ученые определяют его местоположение на свое усмотрение. Самое распространенное его определение — это область в Атлантическом океане между Бермудами, Пуэрто-Рико и Майами. Общая площадь — 1 млн. квадратных километров. Однако название этой области тоже условное, поэтому название “Бермудский треугольник” не является географическим. (Слайды 4, 9).
    • Треугольник Пенроуза … Эта фигура – возможно, первый опубликованный в печати невозможный объект. Она появилась в 1958 году в журнале. в статье под заголовком «Удивительные фигуры, особый вид оптических иллюзий». Ее авторы, отец и сын Лайонелл и Роджер Пенроузы. Невозможный » треугольник, треугольник Пенроуза, увековечен в виде статуи в городе Перт (Австралия). Созданный усилиями художника Брайна МакКея и архитектора Ахмада Абаса, он был воздвигнут в парке Клайзебрук в 1999 году и теперь все проезжающие мимо могут видеть «невозможную» фигуру. (Слайды 4, 10).
    • Интересно! (Слайд 11).

    –А теперь вернёмся к теме нашего урока. Итак, с каждым треугольником связаны 4 совершенно особые точки. Эти точки называются замечательными точками. (Слайд 12).

    IV. Изучение нового материала.

    1. Работа с чертёжными инструментами на доске (4 ученика):

    построение биссектрисы, медианы, высоты, серединного перпендикуляра в треугольнике.

    2. Работа с бумагой (работа по рядам).

    Презентация

    Каждый ряд получает задание (используя треугольный лист бумаги): построить сгибанием точку пересечения биссектрис.

    Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

    I ряд: с помощью сгибов постройте биссектрисы в остроугольном треугольнике.

    II ряд: с помощью сгибов постройте биссектрисы в тупоугольном треугольнике. III ряд: с помощью сгибов постройте биссектрисы в прямоугольном треугольнике.

    Вывод: Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке. (Слайд 13).

    3. Доказательство теоремы. (Слайд 14)

    Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

    Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

    4. Доказательство следствия из теоремы. (Слайд 15)

    Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

    V. Закрепление изученного материала.

    Решить №№ 676 (б). (Слайды 16,17)

    Дано: стороны угла А, равного 90°, касаются окружности с центром О и радиусом r, ОА = 14 дм.

    Решение: 1) ( так как касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания)

    Презентация

    2). АО – биссектриса угла А (так как точка О равноудалена от сторон угла).

    3). ∆АОР – прямоугольный. По теореме Пифагора ОР² +АР² =АО².

    r ² + r ² = 14², 2r ² = 14², r = .

    Дополнительно: № 678 (а), самопроверка. (Слайд 18).

    Могут ли стороны треугольника быть равными 4 см 5 см 8 см и.

    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5

    Два смежных угла относятся как 2 7 найти больший угол.

    Презентация для школьников на тему «Свойства биссектрисы угла» по математике. pptCloud. ru — удобный каталог с возможностью скачать powerpoint презентацию бесплатно.

    Как найти два угла треугольника если известен угол при вершине.

    Свойства биссектрисы угла

    Урок геометрии в 8 классе Учитель математики Цоколова Т. А.

    Тип урока: урок усвоения новых знанийЭтапы урока:- организационный — этап проверки домашнего задания — актуализация знаний учащихся — объяснение нового материала;- закрепление — проверка усвоения

    Цели урока

    Доказать, свойство биссектрисы угла (теорема) Доказать следствие Уметь применить теорему и следствие при решении задач

    Повторение (устный опрос) Определение биссектрисы угла Признаки равенства треугольников Признаки равенства прямоугольных треугольников Расстояние от точки до прямой

    Решение задачи устно по готовому чертежу ОС – биссектриса угла АОВ, ОА = ОВ. Доказать, что площадь ∆АОС равна площади ∆ВОС. О С А В 2 1

    Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

    Доказательство:

    Рассмотрим ∆АКМ и ∆АРМ 1. АМ — общая, 2. ∟1= ∟2. Значит, ∆АКМ=∆АМР (по гипотенузе и острому углу) Следовательно, МК = МР. А К Р М . 2 1

    Теорема (обратная)

    Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

    Доказательство:

    Рассмотрим ∆АКМ и ∆АРМ 1. АМ — общая, 2. КМ = МР (по условию) Значит, ∆АКМ=∆АМР (по гипотенузе и катету). Следовательно ∟1= ∟2. Отсюда, АМ — биссектриса. А К Р М . 2 1

    Следствие: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. A B C D E N O

    А В С . К L М О . Е F R Доказательство: В треугольнике АВС проведём биссектрисы АЕ и ВF. АЕ∩ВF=О Проведём перпендикуляры: ОК, ОL, ОМ. ОК= ОМ, ОК=ОL. Следовательно ОМ=ОL, т. е. О равноудалена от сторон угла АСВ. Значит О лежит на биссектрисе СR.

    Выучить: Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

    Закрепление (номера из учебника)

    Проверка первичного усвоения(Решение задач по готовым чертежам)

    Вариант 1 1) 2) Вариант 2 1) 2) 1 2 4 M ∟1=∟2, МК= 4см. МР=? ES=SF, ∟ETS =34 , ∟ETF — ? P К А Т F E S . А В С Р РВ = РС, ∟ВАР = 25. ∟ВАС — ? РА=10, ∟1=∟2, ∟2 =30, МА=? М Р К А 2 1 Чёрным проведены перпендикуляры

    A B C D E N Вариант 1: ∟ВАN = ∟CAN=16, ∟AВE = ∟CBE=40. ∟ВCА = ? Вариант 2: ∟ВCD = ∟DCA=25, ∟AВE = ∟CBE=43. ∟ВАN = ?

    Ответы (взаимопроверка)

    Вариант1. 1) 4 2) 68 3) 22 Вариант2. 1) 50 2) 5 3) 34

    Домашнее задание:

    П. 72, вопросы 15, 16 (стр. 179) 676(б), 678(а).

  • { Comments are closed }

    Высота сд прямоугольного треугольника авс делит гипотенузу ав на части

    Площадь боковой поверхности треугольной пирамтды.

    Планиметрия. 6. Подобие фигур. 6.7. Средние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Когда говорят о среднем пропорциональном отрезке l между двумя данными отрезками m и n , то имеют в виду следующее соотношение между их длинами (числами) : l=\sqr или l^2 = m n .

    Вычисление площади фигуры ограниченной параболами.

    Ответ оставил Гость

    Треугольники АСД и АВС подобны т. к. ∠А общий и оба прямоугольные.

    Треугольники ВСД и АВС подобны т. к. ∠В общий и оба прямоугольные.

    ΔАСД∞ΔАВС и ΔВСД∞ΔАВС, значит ΔАСД∞ΔВСД.

    СД=12 см — это ответ.

    Если тебя не устраивает ответ или его нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету Геометрия.

    Уравнения высот треугольника по координатам его вершин.

    Какое из данных ниже выражений при любых значениях к равно степени 7 k-2.

    Ответ оставил Гость

    Треугольники АСД и АВС подобны т. к. ∠А общий и оба прямоугольные.

    Треугольники ВСД и АВС подобны т. к. ∠В общий и оба прямоугольные.

    ΔАСД∞ΔАВС и ΔВСД∞ΔАВС, значит ΔАСД∞ΔВСД.

    СД=12 см — это ответ.

    Высота сд прямоугольного треугольника авс делит гипотенузу ав на части

    Если тебя не устраивает ответ или его нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету Геометрия.

    Задачи моногибридное дигибридное скрещивание с решением.

    Метод последовательного приближения в решении уравнений.

    Найдите высоту СD

    1)треугольник ABC подобен треугольнику CBD по 1 признаку(угол В-общий и угол АСВ= углу CDB=90 градусов).

    2)CD=корень квадратный из(AD умножить на DB ) и равно 12см.

    Высота и медиана в прямоугольном треугольнике проведенная к гипотенузе свойства.

    И еще одну пожалуйста.

    Найдите основания трапеции, если AD больше ВС в три раза.

    Желательно подробно, а то я не поняла даже задание.

    Запиши выражение без скобок и найди значение каждого из них.

    Б) АВ=13 см, ВС=7 см, угол В=60 градусам

    2. НАйдите неизвестную сторону треугольника MNP, если:

    А) MN=7 см, MP=15 см, угол M=120 градусам;

    Б) MN=5 см, MP=14 см, угол N=120 градусам.

    3. В параллелограмме острый угол равен 60 градусам, а стороны равны 6 см и 8 см. Найдите:

    А) меньшую диагональ (ВD);

    Б) большую диагональ (АС)

    4. Найдите косинусы углов параллелограмма, если:

    А) его стороны равны 8 мм и 10 мм, а одна из диагоналей равна 14 мм;

    Б) его стороны равны 12 дм и 14 дм, а одна из диагоналей равна 20 дм.

    5. Найдите стороны параллелограмма, если с его большей диагональю, равной 25 см, они образуют углы 20 и 60 градусов.

    6. В треугольнике АВС дано: АВ=16 см, угол В=40 градусов, угол А=30 градусам. Найдите угол С, стороны АС и ВС, радиус описанной окружности.

    7. Докажите, что в биссектриса AD треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки, пропорциональные сторонам АВ и АС. (Указание. Примените теорему синусов к треугольникам АВD и АDС)

    8. Докажите, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон (Указание. Найдите квадраты диагоналей, используя теорему косинусов)

    9. В параллелограмме острый угол между диагоналями 60 градусов одна из сторон 6 см, меньшая диагональ 8 см. Найти:

    А) большую диагональ;

    Б) вторую сторону параллелограмма

    10. Укажите вид треугольника, не вычисляя его углов, если:

    11. Угол при основании равнобедренного треугольника равен равен 30 градусам, а боковая сторона равна 14 см. Найти:

    А) медиану, проведенную к высоте

    Б) биссектрису угла при основании

    12. Стороны треугольника равны 24 см, 18 см и 8 см. Найти:

    А) больший угол треугольника

    Б) меньший угол треугольника

    13. В треугольнике АВС известны стороны: Ас=6 см, ВС=9 см, АВ=10 см. Найти высоту, проведённую к стороне АВ. (Указание. Воспользуйтесь следствием из теоремы косинусов)

    Касательная к описанной окружности треугольника АВС, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите СD.

    Высота CD прямоугольного треугольника ABC делит гипотенузу АВ на части AD равна 16 см и BD равна 9 см. Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику CDB и найдите СВ

    ВСЕМ ЗАРАНЕЕ ОГРОМНЕЙШЕЕ СПАСИБО)))))))))))))))))

    2) Биссектриса СК треугольника АВС делит противоположную сторону на отрезки АК = 11 см и КВ = 10 см. Найдите периметр треугольника АВС, если ВС = 20 см.

    Начертите треугольник abc так чтобы угол a был тупым.

    найдите высоту СD

    1)треугольник ABC подобен треугольнику CBD по 1 признаку(угол В-общий и угол АСВ= углу CDB=90 градусов).

    2)CD=корень квадратный из(AD умножить на DB ) и равно 12см.

    Решение задачи 1 класса по математике школа россии 1 часть.

    И еще одну пожалуйста.

    Желательно подробно, а то я не поняла даже задание.

    Свойства круга вписанного в прямоугольный треугольник.

    б) АВ=13 см, ВС=7 см, угол В=60 градусам

    2. НАйдите неизвестную сторону треугольника MNP, если:

    а) MN=7 см, MP=15 см, угол M=120 градусам;

    б) MN=5 см, MP=14 см, угол N=120 градусам.

    3. В параллелограмме острый угол равен 60 градусам, а стороны равны 6 см и 8 см. Найдите:

    а) меньшую диагональ (ВD);

    б) большую диагональ (АС)

    4. Найдите косинусы углов параллелограмма, если:

    а) его стороны равны 8 мм и 10 мм, а одна из диагоналей равна 14 мм;

    б) его стороны равны 12 дм и 14 дм, а одна из диагоналей равна 20 дм.

    5. Найдите стороны параллелограмма, если с его большей диагональю, равной 25 см, они образуют углы 20 и 60 градусов.

    6. В треугольнике АВС дано: АВ=16 см, угол В=40 градусов, угол А=30 градусам. Найдите угол С, стороны АС и ВС, радиус описанной окружности.

    7. Докажите, что в биссектриса AD треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки, пропорциональные сторонам АВ и АС. (Указание. Примените теорему синусов к треугольникам АВD и АDС)

    8. Докажите, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон (Указание. Найдите квадраты диагоналей, используя теорему косинусов)

    9. В параллелограмме острый угол между диагоналями 60 градусов одна из сторон 6 см, меньшая диагональ 8 см. Найти:

    а) большую диагональ;

    б) вторую сторону параллелограмма

    10. Укажите вид треугольника, не вычисляя его углов, если:

    11. Угол при основании равнобедренного треугольника равен равен 30 градусам, а боковая сторона равна 14 см. Найти:

    а) медиану, проведенную к высоте

    Высота сд прямоугольного треугольника авс делит гипотенузу ав на части

    б) биссектрису угла при основании

    12. Стороны треугольника равны 24 см, 18 см и 8 см. Найти:

    а) больший угол треугольника

    б) меньший угол треугольника

    13. В треугольнике АВС известны стороны: Ас=6 см, ВС=9 см, АВ=10 см. Найти высоту, проведённую к стороне АВ. (Указание. Воспользуйтесь следствием из теоремы косинусов)

    Касательная к описанной окружности треугольника АВС, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите СD.

    Высота CD прямоугольного треугольника ABC делит гипотенузу АВ на части AD равна 16 см и BD равна 9 см. Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику CDB и найдите СВ
    ВСЕМ ЗАРАНЕЕ ОГРОМНЕЙШЕЕ СПАСИБО)))))))))))))))))

    2) Биссектриса СК треугольника АВС делит противоположную сторону на отрезки АК = 11 см и КВ = 10 см. Найдите периметр треугольника АВС, если ВС = 20 см.

    Самостоятельная работа по решению линейных уравнений 7 класс.

    Ответ оставил Гуру

    Рассмотрим треугольники ABC и ADC — они прямоугольные и имеют один общий угол A, значит они подобные. Рассмотрим треугольники ABC и CDB — они тоже прямоугольные и тоже имеют по одному общему углу B — то есть тоже подобные, а значит и треугольники ADC и CDB — подобные

    Если тебя не устраивает ответ или его нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету Геометрия.

    { Comments are closed }

    Окружность, вписанная в правильный треугольник

    Окружность, вписанная в правильный треугольник, помимо свойств вписанной в произвольный треугольник окружности, обладает своими собственными свойствами.

    1) Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

    Площадь параллелограмма abcd равна 3 найдите площадь трапеции ahcb.

    Поскольку в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, то центр вписанной в правильный треугольник окружности является точкой пересечения не только его биссектрис, но также медиан и высот.

    Например, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

    точка O — центр вписанной окружности.

    Окружность, вписанная в правильный треугольник

    AK, BF и CD — биссектрисы, медианы и высоты треугольника ABC.

    2) Расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу. Так как центр вписанной в правильный треугольник окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной третьей длины медианы:

    Таким образом, формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности

    Обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

    3) Так как формула для нахождения площади равностороннего треугольника через сторону

    можем найти площадь через r:

    Таким образом, формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности —

    3) Все отрезки, на которые стороны равностороннего треугольника делятся точками касания вписанной окружности, равны половине его стороны:

    4) Центр вписанной в правильный треугольник окружности является также центром описанной около него окружности.

    5) Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

    Из точки м биссектрисы тупого угла проведены перпендикуляры ма и мк.

    Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

    Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны: .

    • В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны .
    • В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины
    • Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.
    • Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка .
    • В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной: .

    В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны :

    • Высота=медиане=биссектрисе:
    • Радиус описанной окружности:
    • Радиус вписанной окружности:
    • Площадь:
    • Периметр:

    Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?

    Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними с доказательством.

    Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме , значит, каждый по .

    Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник:

    Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром! В равностороннем треугольнике оказалось не особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

    Уже должно быть очевидно, отчего так.

    Посмотри на рисунок: точка – центр треугольника. Значит, – радиус описанной окружности (обозначили его ), а – радиус вписанной окружности (обозначим ). Но ведь точка – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины. Поэтому , то есть .

    Давай удостоверимся в этом.

    Равносторонний треугольник. Высота

    Рассмотрим – он прямоугольный.

    Равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности

    А это почему? Мы уже выяснили, что точка – не только центр описанной окружности, но и точка пересечения медиан. Значит, .

    Величину мы уже находили. Теперь подставляем:

    Равносторонний треугольник. Радиус вписанной окружности

    Это уже теперь должно быть совсем ясно

    Ну вот, все основные сведения обсудили. Конечно, можно задавать сотни вопросов про всякие длины всяких отрезков в равностороннем треугольнике. Но главное, что следует иметь в виду, решая задачки о равностороннем треугольнике, – это то, что все его углы известны – равны и все высоты являются и биссектрисами, и медианами, и серединными перпендикулярами.

    Комментарии

    Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

    Политика конфиденциальности

    Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

    Сбор и использование персональной информации

    Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

    От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

    Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

    Какую персональную информацию мы собираем:

    • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

    Как мы используем вашу персональную информацию:

    • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
    • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
    • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
    • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

    Раскрытие информации третьим лицам

    Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

    • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
    • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

    Защита персональной информации

    Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

    Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

    Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

    Спасибо за сообщение!

    Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

    Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

    Начертите по клеточкам ту фигуру у которой два острых угла.

    Основы черчения

    Строительное

    Машиностроительное

    Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

    Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего прово­дим стороны 5—6 и 3—2.

    Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

    Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

    Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

    1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

    Второй способ основан на том, что, если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

    Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

    Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

    Окружность, вписанная в правильный треугольник

    Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4—1 и 3—2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

    Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

    Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

    Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

    Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

    Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

    Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

    Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

    Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

    Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

    Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

    Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

    Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

    Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

    В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

    Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

    { Comments are closed }